QCA (QUANTUM CELLULAR AUTOMATON)

 

             

                   

 Tế bào autômát lượng tử - QCA

     

               

                      

Liệu vũ trụ có phải là một máy tính lượng tử khổng lồ hay không ? Có thể đúng như vậy: đây là  quan điểm hiện nay của một số nhà khoa học uy tín trên thế giới như Seth Lloyd ( Massachusetts Institute of Technology, Mỹ) và Lee Smolin (Institut Perimeter, Canada).Công cụ để mô tả vũ trụ dưới quan điểm đó là QCA (Quantum cellular Automaton-Tế bào autômát lượng tử). Trước đây Stephen Wolfram năm 2002 đã công bố lý thuyết về CA (Cellular Automaton-Tế bào autômát). Song lý thuyết này chưa thể mô tả đầy đủ vũ trụ được vì CA không bao gồm lý thuyết lượng tử. Có thể nói QCA là kết quả của việc “lượng tử hóa”  CA và là một hướng đi triển vọng nhằm tìm ra một lý thuyết thống nhất tối hậu cho vật lý.

 

                                                     *

 

Lý thuyết tế bào autômát CA của Stephen Wolfram

(Một loại hình khoa học mới NKS: 256 quy tắc để hiểu toàn bộ thế giới thực tại )

 

Một hiện tượng đã không ngớt gây sự chú ý và nhiều tranh cãi trong giới khoa học  là sự xuất hiện cuốn sách : Một loại hình khoa học mới ( A New Kind of Science –viết tắt là NKS ) của Stephen Wolfram vào năm 2002, xem hình1. Tác giả Wolfram cho rằng mọi hiện tượng trong vạn vật từ vũ trụ đến thị trường chứng khoán đều có thể quy về những chương trình tin học đơn giản và mọi hiện tượng phức tạp đều là kết quả phát triển của những tế bào ban đầu gọi là các tế bào autômát (viết tắt là CA-Cellular automaton).

 

  

 

   Hình 1 . Stephen Wolfram và cuốn sách đồ sộ dày 1280 trang: Một loại hình khoa học mới (NKS)

 

 

Stephen Wolfram là một nhà khoa học xuất sắc, nghiên cứu nhiều lĩnh vực (vật lý các hạt cơ bản, vũ trụ, toán học, tin học,...), tác giả của Mathematica, một phần mềm nổi tiếng được sử dụng trên toàn thế giới. Wolfram sáng lập tập đoàn phần mềm hàng đầu  Wolfram Research,Tnc. Có trên 2 triệu người sử dụng Mathematica, nhiều phiên bản mới  của Mathematica liên tục bảo đảm cuộc sống của hơn 300 người trong công ty Wolfram Research,Tn.

Wolfram nhiều năm suy nghĩ về một câu hỏi lớn: mọi cấu trúc phức hợp và  đa dạng trong thế giới thực tại đã hình thành như thế nào? Liệu thiên nhiên có sử dụng một số quy tắc nào trong khi sáng tạo ra mọi vật, liệu có một khoa học lý thuyết nào để mô tả những quy tắc này? .Trong thời gian sau này Wolfram rời quản lý công ty để  chuyên nghiên cứu CA  và năm 2002 công bố cuốn sách  Một loại hình khoa học mới (A New Kind of Science viết tắt là NKS )[1]  (dày 1280 trang); cuốn sách sớm trở thành hiện tượng trong giới khoa học (hình 1). Khi nói đến cuốn sách này người ta không thể không nói đến quyển Mathematica , cơ sở tính toán cho NKS.

 

Wolfram tin rằng tồn tại một chương trình rất đơn giản, nếu chạy trong một thời gian rất dài sẽ dẫn đến mọi phức hợp (complexity) trong vũ trụ:  các sao, mặt trời, khí hậu, các sinh vật, các dòng chảy của chất lỏng, thị trường chứng khoán,...Và chương trình đó chính là lý thuyết tối hậu của vật lý.

Vũ trụ là một máy tính khổng lồ . Số phép tính mà vũ trụ thực hiện trong suốt lịch sử có thể lên đến 10 ¹²⁰ trên lượng thông tin bằng 10 ⁹⁰ bit . Vũ trụ tính điều gì? Vũ trụ tính quá trình tiến triển động học của chính mình!

Trong lý thuyết CA của mình, Wolfram muốn chứng minh rằng với những quy tắc đơn giản chúng ta có thể thu được những hình thái rất phức tạp. Gregory Chaitin , một nhà toán học lớn đã phát biểu một cách ngưỡng mộ : Stephen Wolfram muốn phát hiện những viên gạch đầu tiên mà Chúa đã  đặt xuống để xây dựng vũ trụ.

 

 Tế bào autômát  (CA) cơ bản

 

Tế bào autômát  là đơn vị  nằm trong một ô mạng gián đoạn sử dụng cho tính toán. CA cơ bản  có một chiều (dimension), mỗi tế bào có 2 trạng thái: 1 & 0 hay đen & trắng, mỗi tế bào có 2 tế bào lân cận nằm hai bên. Sở dĩ các tế bào này được gọi là autômát vì chúng tự động phát triển trong thời gian theo những quy tắc nhất định.

Như vậy với các CA cơ bản ta có một tập gồm 3 tế bào vậy có 2 ³ = 8 cấu hình cho một tập như thế. Trên hình 2 là 8 cấu hình của các tập  3 tế bào (ở hàng một ta dùng số 1 & 0 để chỉ trạng thái, ở hàng dưới ta dùng màu đen & trắng để chỉ trạng thái):

 

                                Hình 2. Trên hình ta có 8 cấu hình của tập 3 tế bào

 

 Sự phát triển của CA theo thời gian

 

Lấy một tế bào đen trên hàng thứ nhất. Trên hàng thứ hai (ứng với thời điểm tiếp theo, như thế không gian và thời gian quyện với nhau) ta lấy thêm một tế bào bên trái, vậy ta có hai tế bào, chúng có màu đen hay màu trắng? Trạng thái mới của tế bào phụ thuộc vào trạng thái trước của nó và của hai tế bào lân cận. Ta phải lấy một quy tắc nào đó để gán màu cho chúng. Sau đây ta dùng quy tắc gọi là quy tắc 110  biểu diễn ở hình 3. (vì sao gọi là quy tắc 110, xin xem chú thích [2]).

 

 

  Hình 3. Quy tắc110,trạng thái biểu diễn bằng màu: đen (ứng với số1)& trắng (ứng với số 0).

 

Màu của  tế bào nằm ở hàng tiếp theo tùy thuộc vào các màu của 3 tế bào nằm đúng trên nó một hàng (tế bào nằm dưới ở ngay vị trí giữa của 3 tế bào nằm trên). Theo quy tắc nêu ở hình 3: ví dụ 3 tế bào nằm trên có cấu hình 111 thì tế bào nằm dưới sẽ là tế bào 0 tức là tế bào trắng, nếu trên có cấu hình 110 thì tế bào dưới sẽ là tế bào đen và v.v. ...

 

Ta có thể biểu diễn quy tắc 110 tường minh hơn như sau (xem hình 4  )

 

  

                                 Hình 4  . Quy tắc 110

 

Sau 10 lần lặp (lấy liên tiếp 10 hàng) ta có hình 5a , sau 700 lần lặp ta có hình 5b.

 

 

      

Hình 5  . Kết quả áp dụng 110 sau 10 lần và 700 lần lặp

Sau đây là một số hình thái thu đươc nhờ sử dụng CA (hình 6).

                                                         

                                                                                                                                                                

 

Hình 6 .CA tái tạo một nhánh cây, CA mô tả tương tác của các hạt cơ bản(b), CA trong 3D (3 chiều) tạo nên bởi CA trong 2D phát triển trong thời gian.

Sau nhiều lần  lặp với nhiều quy tắc khác nhau người ta thu được nhiều  hình thái mô tả nhiều đối tượng phức hợp trong vũ trụ.

Có bao nhiêu quy tắc như quy tắc 110 mà chúng ta nói trên đây? Vì mỗi tế bào có hai trạng thái cho nên đối với một tập 8 tế bào (xem hàng thứ hai ở hình 2) số cấu hình khác nhau sẽ cho ta số quy tắc bằng:  2 ⁸  = 256  quy tắc.

Wolfram cho rằng sử dụng 256 quy tắc cho sự phát triển của CA, chúng ta có thể tái tạo mọi  sự phức hợp (complexity) trong vạn vật. Trong 256 quy tắc đó, quy tắc 110 (và quy tắc 30 ) là lý thú nhất.

 

Trong những năm 70 Fredkin đã đưa ra ý tưởng vũ trụ chúng ta là một CA (Cellular automaton-tế bào autômát) và cho rằng các đại lượng vật lý được xem là những bó thông tin nằm trong CA.

 

Sự ứng dụng CA bao trùm nhiều lĩnh vực: phép tính song song, sự sống nhân tạo (artificial life), xử lý và tạo hình ảnh, mô hình các hệ sinh học, mô phỏng trong hóa học, trong vật lý, chảy cuộn xoáy (turbulence), đồ họa và nghệ thuật...

 

 

Cơ học lượng tử và các cổng 

 

Lý thuyết tế bào autômát của Wolfram là lý thuyết cổ điển . Trong lý thuyết của Wolfram các tế bào autômát là những máy tính đơn giản chứa dữ liệu trên một băng và cập nhật từng tế bào trên băng nhờ một quy tắc cập nhật (update rule) định xứ (như quy tắc 110 nói trên đây)

 

Đơn vị thông tin cổ điển là bit có khả năng lấy hai trị số 0 và 1.Trong lý thuyết lượng tử đơn vị thông tin là qubit (quantum bit-bit lượng tử) . Về mặt vật lý một qubit được biểu diễn bởi một hệ lượng tử có hai trạng thái. Ví dụ photon (với phân cực thẳng đứng và nằm ngang), electron hoặc các hạt spin ½ (với spin up và down) hoặc một hệ lượng tử như nguyên tử hoặc ion với hai mức năng lượng.

 

Khi ta có hai qubit thì xuất hiện hiện tượng gọi là liên đới lượng tử (quantum entanglement). Đó là lúc hàm sóng của hai qubit không thể viết dưới dạng tích trực tiếp của hai hàm sóng riêng lẻ của từng qubit mà có dạng ví dụ như  

| 00 > +| 11 >. Có thể so sánh dạng này với dạng | 00 >+| 01 >, dạng sau  không mô tả liên đới lượng tử được vì rằng ta có thể viết nó dưới dạng  

| 0 >(| 0 >+| 1 >) nghĩa là dưới dạng tích trực tiếp của hai hàm sóng.

Các  trạng thái liên đới lượng tử còn được  gọi là các trạng thái Bell , hoặc trạng thái EPR hoặc cặp EPR,   đặt theo chữ cái đầu tiên của tên các tác giả Einstein, Podolsky & Rosen là những người đầu tiên phát hiện ra các tính chất kỳ lạ của những trạng thái đó: khi hai hạt liên đới lượng tử thì chúng tiếp tục tương tác với nhau mặc dầu khoảng cách giữa chúng trở nên vô cùng.

 

Trong mạch lượng tử người ta cấy vào những cổng (gate)  để thực hiện các phép tính.Các cổng quan trọng là:

 

 

Trong từ CNOT,chữ C = control. Qubit thứ nhất đóng vai trò điều khiển (control). Ta thấy lúc qubit thứ nhất có trị số 0 thì qubit thứ hai không thay đổi gì cả khi qua cổng CNOT, nhưng nếu qubit thứ nhất bằng 1 thì trị số của qubit thứ hai thay đổi 0 thành 1và ngược lại.

 

Tập các cổng H,T,X và CNOT trên làm thành một tập toán tử phổ quát (điều đó có nghĩa là tập toán tử này cho phép thực hiện được mọi phép toán ).Ví dụ xem hình 7.

 Hình 7 .Trạng thái 0 biến đổi sau khi đi qua các cổng H và T

 

Máy tính lượng tử theo như ý tưởng ban đầu của Feynman là một máy tính có khả năng mô phỏng các quá trình vật lý và hoạt động theo những định luật của lý thuyết lượng tử .

 

Tiến đến QCA

 

Phải chăng Vũ trụ của chúng ta có thể biểu diễn thành một máy tính song song khổng lồ? Có lẽ đúng vậy nếu như máy tính này tuân theo những định luật của Vật lý lượng tử. Trong bài báo  [3]  Pablo Arrighi, Jonathan Grattage ( hình 8)   đã trình bày tổng quan ý tưởng này .

 

  

 

Hình 8. Từ trái sang phải :Pablo Arrighi, Jonathan Grattage

 

Đây là lĩnh vực nghiên cứu của những nhà vật lý thuộc thế hệ thông tin lượng tử, một lĩnh vực tích hợp lý thuyết thông tin (informatics),vật lý và toán học.

Một số nhà khoa học hàng đầu như Seth Lloyd ( Massachusetts Institute of Technology, Mỹ) và Lee Smolin (Institut Perimeter,  Canada) đã có nhiều đóng góp cho lĩnh vực này.Các tác giả này ủng hộ ý tưởng rằng vật lý lý thuyết không tập trung vào khái niệm vật chất mà cần phải tập trung vào khái niệm “thông tin-information”. Theo các tác giả này khi nghiên cứu những hạt đang chuyển động và tương tác với nhau cần phải nghiên cứu đại lượng entropie (vốn là một hàm đo thông tin) và sự trao đổi thông tin giữa những hệ.

Thật ra ý tưởng không mới . Entropie là đại lượng cơ bản trong nhiệt động học.Và  nhận thức  của những người quan sát ( người nhận thông tin) và các phép đo (những phương thức để thu nhận thông tin) chiếm một vị trí trung tâm trong lý thuyết tương đối và lý thuyết lượng tử.Hơn nữa lý thuyết thông tin đã giúp chúng ta nhiều tiến bộ trong việc tìm hiểu các hiện tượng lượng tử cơ bản.Ví dụ như hiện tượng liên đới lượng tử (quantum entanglement) nói trên đây.

 

Vật lý thông tin

 

Vật lý thông tin (information physics)  cho phép chúng ta  mô tả quá trình mất kết hợp lượng tử ( quantum decoherence ) giải thích được vì sao nguyên lý chồng chất , một nguyên lý cơ bản của lý thuyết lượng tử, không thể nào quan sát được ở kích thước vĩ mô. Năm 1935 Schrodinger đã đưa ra nghịch lý con mèo để làm ví dụ cho nghịch lý này.

 Vật lý lý thuyết thực tế đã từ lâu là một lý thuyết “thông tin”. Điều chúng ta muốn phát triển xa hơn là vật lý thực chất trong tương lai có thể là một lý thuyết “tính toán” (computational).Để hiểu vấn đề này ta trở lại những năm 1970. Tại Mỹ những nhà khoa học như Edward Fredkin (Đại học Carnegie Mellon, vàTommaso Toffoli (Đại học Boston) đã đưa ra ý tưởng Vũ trụ là một máy tính song song khổng lồ. Trong khuôn khổ lý thuyết đó những hạt được xem như những bó  thông tin chuyển động trong một mạng lưới khổng lồ của các microprocessor hơn là những thực thể vật chất chuyển động rồi va chạm và phân rã.

Từ những ý tưởng đó Robin Gandy một nhà toán học và logic học Anh đã đề xuất ý tưởng năm 1980: Vũ trụ có thể mô hình hóa bằng một máy tính cổ điển với bộ nhớ lớn vô cùng. Trong khuôn khổ ý tưởng này người ta thống nhất dùng những nguyên tắc sau đây:

·       Các định luật vật lý là đồng nhất (có hiệu lực ở mọi nơi mọi thời điểm),

·       Thông tin không thể truyền nhanh hơn vận tốc ánh sáng c,

·       Robin Gandy đưa ra nguyên tắc  cho rằng một thể tích hữu hạn của không gian chỉ chứa một lượng thông tin hữu hạn.

Như vậy nếu phân không gian thành những khối lập phương nhỏ thì trạng thái của mỗi hình lập phương ở thời điểm  t+1 sẽ là hàm số của trạng thái các hình lập phương lân cận ở thời điểm  t . Các nhà lý thuyết thông tin gọi đây là quy tắc định xứ (local rule). Và như thế trạng thái của vũ trụ ở thời điểm t+1 có thể tính được từ trạng thái của vũ trụ ở thời điểm t bằng cách sử dụng quy tắc định xứ.

Tiến hành như vậy Gandy đi đến kết luận Vũ trụ là một máy tính khổng lồ song song hay nói cách khác cơ bản là một tế bào autômát.

 

Ý tưởng thông tin lượng tử của Feynman đầu năm 1980 mở ra hướng đi cho máy tính lượng tử.Phải nhờ máy tính lượng tử để tính toán những bài toán lượng tử, máy tính cổ điển không làm được việc này.

Tương tự như những máy tính cổ điển những máy tính lượng tử cũng được tổ chức thành mạng chuyển tải thông tin.Song bây giờ đơn vị thông tin không phải là những bit với các trạng thái 0 và 1 mà bây giờ là những qubit với trạng thái  chồng chất của 0 và 1.

Để xử lý thông tin một máy tính lượng tử  sử dụng những cổng logic ( logical gates) nói ở phần trên.

 

Người ta có thể tạo nên một hạt có cùng một lúc 2 trạng thái: kích thích và không kích thích. Trong những thập kỷ cuối này nhiều nhóm thực nghiệm trên thế giới đã thực hiện nhiều mạng  lượng tử với những cổng cho một qubit như cổng Hadamard. Điều khó khăn là thực hiện các cổng cho hai qubit như cổng CNOT  và những mạng  lượng tử với số lượng lớn.

Nhưng các khó khăn thực nghiệm không ngăn cản các phát triển lý thuyết. Người ta đã thay nguyên tắc mật độ thông tin hữu hạn của Gandy bằng 

giả thuyết cho rằng một thể tích không gian hữu hạn chỉ có thể chứa một số hữu hạn các qubit. Điều này dẫn đến một phiên bản mới của lý thuyết Gandy: đây là phiên bản lượng tử của tế bào autômát.

Trong phiên bản lượng tử này quá trình tiến triển ( evolution) theo thời gian từ   t   đến   t+1   sẽ thực hiên được nếu sử dụng liên tiếp trong không gian một số  cổng lượng tử lên các nhóm tế bào lân cận.Song những tế bào autômát lượng tử có những đặc tính nội tại (inherent) của lý thuyết lượng tử. Các tế bào này có thể nằm trong trạng thái chồng chất. Theo thời gian chúng có thể liên đới lượng tử với những tế bào khác nằm xa chúng.

Có thể xem ví dụ tế bào autômát lượng tử trong mô hình trò chơi lượng tử của sự sống [4]. Trong mô hình này mỗi tế bào có thể hoặc “sống” hoặc “chết” hoặc nằm trong trạng thái chồng chất của hai trạng thái đó.Sự biến đổi của mạng sẽ thu được bằng cách áp dụng một cổng lượng tử lên những khối lập phương của hai tế bào bên cạnh . Nếu ý tưởng ban đầu của Gandy là đúng thì về mặt lý thuyết chúng ta có thể nghĩ rằng có thể miêu tả vũ trụ như một tế bào autômát lượng tử rất lớn. Trong quan điểm đó thì vật lý có cứu cánh là suy ra “chương trình” của máy tính khổng lồ lượng tử này.

 

Những quy tắc phổ quát

 

Mục đích của vật lý sẽ là dò tìm các quy tắc cập nhật nhờ các thí nghiệm càng ngày càng chính xác tựa như những thí nghiệm thực hiện tại LHC, Geneve.Như vậy chắc là quy tắc tìm ra có lẽ không quá đơn giản vì vũ trụ vốn phức tạp mà phải đủ phức tạp để bao trùm những quy tắc khác :tính chất đó gọi là “tính phổ quát nội tại” (intrinsic universality). Trước mắt QCA

còn lại nhiều chướng ngại vật.

 

Bài toán lan truyền tín hiệu và lý thuyết tương đối

 

Một chướng ngại đối với các mô hình tế bào autômát lượng tử QCA là các mô hình này không đẳng hướng; khi chúng ta sử dụng một mạng vuông, những tín hiệu lan truyền nói chung  theo bốn  hướng tọa độ nhanh hơn là theo hướng đường chéo.Như vậy các mô hình sử dụng mạng vuông như thế để làm hệ quy chiếu khó lòng mô phỏng được sự lan truyền sóng mặc dầu có thể mô phỏng gần đúng.

Một chướng ngại tiếp theo là vật lý số lượng tử chưa tích hợp được lý thuyết tương đối rộng (giống như những lý thuyết số cổ điển trước đây chưa tích hợp được lý thuyết lượng tử).Như vậy cần phát triển thêm lý thuyết tế bào autômát lượng tử để vượt qua các chướng ngại trên.

Đối với chướng ngại thứ hai các tác giả về hấp dẫn lượng tử như Tomasz Konopka, Fotini Markopoulou và Lee Smolin[5] đã nêu lên hướng giải quyết ban đầu. Chúng ta có thể hy vọng một phiên bản vật lý số lượng tử tương đối tính sẽ xuất hiện trong các thập kỷ sắp đến.Trong lý thuyết mới  tế bào autômát lượng tử với tính phổ quát nội tại sẽ đóng vai trò quan trọng.

 

Các nhà vật lý cần “lượng tử hóa” máy tính.Vậy thay vì CA (Cellular automaton) chúng ta sẽ có QCA (quantum cellular automaton). QCA sẽ mô tả được lối hành xử của những hệ lượng tử. Như vậy QCA bao trùm mọi lĩnh vực tính toán lượng tử.

 

Chú ý các quy tắc cập nhật (update rule) là định xứ (local) và đồng nhất ( homogenous) như các định luật vật lý. Vì lý do đó người ta mô hình các hệ vật lý nhờ CA.Ngược lại nếu chúng ta có thể tìm được một cơ chế vật lý thực hiện quy tắc cập nhật thì chúng ta có thể dùng cơ chế đó để đưa CA vào thế giới khách quan vả thực hiện các phép tính.

Song vấn đề là cần phải lượng tử hóa CA thành QCA vì thế giới khách quan vốn phải tuân theo lý thuyết lượng tử.

 

 QCA là kết quả “ lượng tử hóa” CA

 

Câu chuyên bắt đầu từ công trình nổi tiếng của Feynman năm 1982 “ Mô phỏng vật lý bằng máy tính”. Phải nhiều năm trôi qua thì khái niệm đó của Feynman mới định dạng được .

Người có công lớn là  John Watrous nhờ công trình năm 1995  . Ý tưởng chính của tác giả này là thay các quy tắc cập nhật cổ điển, tất định luận  bằng các quy tắc cập nhật  lượng tử .Ý tưởng này được Horowicz trình bày ngắn gọn dưới dạng sơ đồ sau đây [6].

 

Như ta thấy trong quy tắc 110 của CA ta có quy tắc (xem hình 9)

               

Hình 9. Một quy tắc trong 110 

 

Bây giờ muốn lượng tử hóa CA ta phải thay những quy tắc cổ điển trên bằng những quy tắc cập nhật lượng tử như  quy tắc  ở hình 10.

 

Hình 10. Quy tắc cập nhật lượng tử

 

Như vậy trước đây quy tắc cập nhật có thể xem như một ánh xạ các trạng thái của các tế bào bên trái (left), bên phải(right) và bản thân tế bào cũ (old) nằm ở giữa hai tế bào trên thành trạng thái của một tế bào mới (new).

 

Xuất phát từ các quá trình chuyển biên độ định xứ (local) đó chúng ta có thể tính được sự chuyển biên độ toàn xứ (global) quét mọi tế bào đánh dấu i .

 

 

Toán tử U phải là một toán tử unita.Nhờ toán tử này chúng ta có thể  thực hiện được quá trình lượng tử hóa CA hay nói cách khác chuyển CA thành QCA là đối tượng cuối cùng chúng ta quan tâm.

 

Kết luận

 

Như vậy người ta có thể  xây dựng được QCA, một công cụ lượng tử cần thiết để mô tả vũ trụ.Xem vũ trụ là một máy tính lượng tử khổng lồ như nói ở trên là một quan điểm nhằm tiến đến một lý thuyết thống nhất tối hậu của vật lý.Quan điểm này dẫn đến một hình hệ  (paradigm) mới dựa trên thực thể cơ bản là thông tin chứ không phải là vật chất. Đây là một hướng nghiên cứu mở ra nhiều triển vọng, một hướng nghiên cứu tích hợp  lý thuyết thông tin (informatics),vật lý và toán học.

 

                                                                                                   Cao Chi

 

Tài liệu tham khảo

[1]   Stephen Wolfram, A new kind of Science: NKS | ON LINE, 2007

[2]   Tại sao quy tắc này có tên là quy tắc 110?  Hãy nhìn dãy số ứng với trạng thái của tế bào nằm giữa trên hàng dưới (hình 3):

        01101110= trong hệ nhị phân dãy số này bằng =

0.2 ⁷ + 1.2 ⁶+ 1.2 ⁵ + 0.2 ⁴ + 1.2 ³ + 1.2 ² +1.2 ¹ + 0.2 ⁰

 =  64+32+8+4+2 =110. Vì thế quy tắc này gọi là quy tắc 110.

        Nếu dãy số ứng với trạng thái của tế bào nằm giữa trên hàng dưới của hình 2 lại là : 00011110 thì chúng  ta có quy tắc 30.

[3] Pablo Arrighi, Jonathan Grattage, Le monde est un ordinateur quantique La recherche , Sept.2012 p.72

[4] P. Arrighi et J. Grattage,Proceedings of JAC 2010,2010.

[5]  Tomasz Konopka, Fotini Markopoulou and Lee Smolin,Quantum Graphity,arXiv:hep-th/0611187v , 17 November 2006

[6] Joshua Horowitz, An Introduction to Quantum Cellular Automata

web.mit.edu/joshuah/www/projects/qca.pdf