PHẠM TRÙ trong LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ

 

Giới thiệu PHẠM TRÙ TRONG LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ 

Trong tài liệu [1] tác giả trình bày ngôn ngữ phạm trù (PT) của LTLT (Lý thuyết lượng tử ).Sau đây là nội dung tóm tắt .

LTPT (Lý thuyết phạm trù ) là một hiểu biết toán học quan trọng từ năm 1940 LTPT dã là thành tựu quan trọng toán học trong ĐẠI SỐ, HÌNH HỌC, TOPO & LOGIC.Hiện nay LTPT được mở rộng sang KHOA HỌC TÍNH TOÁN & VẬT LÝ HỌC .

Khi chúng ta nối liền một PHẠM TRÙ (và cấu xạ-morphism) sang một PHẠM TRÙ khác : chúng ta muốn bắc một nhịp cầu giữa hai thế giới đối tượng .Nhịp cầu đó gọi là hàm tử  functor.

Functor chính là nối quan tâm hàng đầu của LTPT .

Vậy nội dung của LTPT là gì ?

Đó là tìm các phạm trù (với các cấu xạ-morphism ) của lĩnh vực đó và tìm ra các functor nối liền các phạm trù .

Hiện nay LTPT đã bao trùm tất cả nhiều lĩnh vực . Chúng ta sẽ tr ình bày ở đây LTPT ứng dụng vào LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ. 

Trong LTLT, CHLT được mô tả  bởi:

Sau đây chúng ta sẽ đưa vào phạm trù và các khái niệm liên quan và sẽ cho chúng ta thấy LTPT cho ta một bức tranh rất đẹp để mô tả LTLT

LTPT

Một phạm trù gồm 

Các morphism thỏa mãn 

 (h.g).f =h.(g.f).

Các morphism cũng được ghi là f : X--> Y.

Sau đây là ví dụ về phạm trù  (ta quan tâm đến các đối tượng sau)

PHẠM TRÙ Vect :gồm các đối tượng là không gian vector và các morphism là các biến đổi tuyến tính (linear transformation)

 PHẠM TRÙ Cob a2 (hiểu là categorie of 2-dimension object a)

 gồm các đối tượng là các đường tròn còn morphism là những mặt có các đường tròn là biên.Morphism : một hình trụ có thể xem là morphism giữa một hình tròn với  hình tròn khác, một cái quần là morphism giữa giữa hai hình tròn và một hình tròn

 

 

PHẠM TRÙ 10 :   Cob' 1   có đối tượng là một điểm còn morphism là một đoạn thẳng có độ dài bất kỳ nối liền hai copies của điểm đó (xem hình 3) . Tích hai morphism có độ dài s & t là morphism có độ dài s+t.

Cấu xạ (morphism)" độ dài " t trong Cob' 1

LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ (chi tiết xin xem [1])

Người ta chứng minh rằng thuyết lượng tử được biểu diễn bởi functor  Cob'1   đến Vect .

Còn LTD (Lý thuyết dây)  được biểu diễn bởi functor Cob2 đến Vect .

KẾT LUẬN 

Như vậy ta thấy rằng lý thuyết lượng tử trong ngôn ngữ PHẠM TRÙ  là một biểu diễn  functor từ một phạm trù hình học nào đó đến Vect.

TÀI LIỆU THAM KHẢO 

[1] Eugene Rabinovich, The categorical language of quantum mechanics

https://math.berkeley.edu/~erabin/The%20Categorical%20Language%20of%20Physics.pdf

[2] Cao Chi ,giới thiệu LÝ THUYẾT PHẠM TRÙ .