LÝ THUYẾT LIOUVILLE

  

 

                                                                                                                                                             

LÝ THUYẾT LIOUVILLE

(LIOUVILLE THEORY)

87aB

Đó là  một  Lý thuyết trường conformal 2D(2D  CONFORMAL FIELD THEORY-CFT)  mà nếu xét phương trình chuyển động cổ điển (classical equation of motion) thì ta  có phương trình Liouville tổng quát (generalization of Liouville equation).

Conformal =bảo giác 

CFT mô tả động học tầm xa của những hệ thống kê và lượng tử cuả nhiều hạt gồm nhiều biến đổi :

Dịch chuyển (translations)

Biến đổi Lorentz

Biến đổi thang (scale)

Trong hình học vi phần phương trình Liouville (theo tên Joseph Liouville ) là phương trình phi tuyến riêng  phần  thỏa mãn bởi factor conformal f của metric f 2 (dx 2 + dy 2 )trên một mặt  phẳng với độ cong Gaussian K không đổi :

 

 Ta biết trong vật lý Liouville equation là quan trọng . Liouville equation được sử dụng trong nhiều  lĩnh vực (ví như atmospheric predictability ).

Tại sao chúng ta nói đến lý thuyết Liouville ?

Chúng ta nói đến lý thuyết Liouville vì một điều  quan trọng  là lý thuyết Liouville CFT có thể giúp chúng ta xây dựng hấp dẫn 2D & 3D.

HẤP DẪN 2D

Để xây dựng Hấp dẫn 2D người ta dùng  một trường conform !

Tác động (action) Einstein-Hilbert trong 2D không dẫn đến một phương trình động học  cho tensor metric g ab  (X) = (X:=(x 0,x 1) ; (a &b= (0,1). Điều này có nguyên nhân là Lagrangian tương ứng 

 vốn là một ‘ đạo hàm toàn phần –total derivative ‘ còn tác động ( action ) chỉ được biểu diễn qua các hạng số mặt ( surface terms).

Người ta có thể xây dựng một hấp dẫn 2D bằng cách buộc rằng trường q(X) phải thỏa mãn một phương trình động học (dynamical equation) ví như phương trình trường Liouville :

 

Trong đó /\ là một hằng số không thay đổi. Và đây được xem là mô hình hấp dẫn 2D.

Phương trình Liouville được sử dụng trong rất nhiều bài toán lý-toán vì tính bất biến conformal của nó .

HẤP DẪN 3D

Câc tác giả [2] sử dụng đối ngẫu AdS3/CFT2.

Các tác giả trên  định nghĩa lý thuyết hấp dẫn 3D như một lý thuyết đối ngẫu (dual) holographic của  CFT. Lẽ dĩ nhiên có thể xây dựng một lý thuyết hấp dẫn lượng tử 3D bằng cách lượng tử hóa trực tiếp, song ở đây các tác giả đã chon đường đối ngẫu holographic:

AsD 3 /CFT 2 .

Tác giả thể hiện tác động  3D Einstein-Hilbert   trong AdS 3  và sử dụng vào chỗ CFT 2  là lý thuyết lượng tử Liouville 2D.

Lý thuyết hấp dẫn lượng tử sẽ là một lý thuyết hấp dẫn thích hợp và unitarity.  

TÀI LIỆU THAM KHẢO 

[1] George Jorjadze, Liouville Field Theory and 2D gravity 

[2] Songyunian Li, Nicolaos Toumbas, Jan Troost,Liouville Quantum gravity