LƯỢNG TỬ HÓA BIẾN DẠNG

 

   

Giới thiệu 

DEFORMATION QUANTIZATION

( Lượng tử hóa biến dạng)

80B

Quá trình từ vật lý cổ điển sang vật lý lượng tử đã trải qua nhiều thí nghiệm nhiều trang cãi ( Planck, Einstein, Bohr, Louis de Broglie, Schrodinger,Heisenberg).Song quá trình đó người ta có thể vượt qua nhờ toán học. Đây là một điều lý thú càng làm cho người ta hiểu thêm về bản chất lý thuyết lượng tử từ toán học và dường như toán học có khả năng phản ánh thực tế khách quan nhiều hơn chúng ta tưởng.

Lý thuyết suy cố điển --> lượng tử gọi là  Biến dạng Lượng tử hóa (Deformation quantization ).

Như vậy Cơ học lượng tử là một biến dạng của cơ học cổ điển và điều này nằm tiểm ẩn trong toán học mà bây giờ các nhà vật lý và toán học đã phát hiện. Được tham chiếu nhiều nhất là công trình của các tác giả Bayen, F., Flato, M., Fronsdal, C., Lichnerowicz, A., Sternheimer, D.[1].

Như vậy những cấu trúc (đối xứng, trạng thái,…) đã biến dạng từ cấu trúc ban đầu thành cấu trúc mới và khi thông số mới (như hằng số Planck) tiến đến số không thì cấu trúc biến dạng trở lại là cấu trúc ban đầu.

Có thể nói cơ học lượng tử là biến dạng của cơ học cổ điển. Điều này được gọi là  lượng tử hóa biến dạng (deformation quantization).

Biến dạng lượng tử hóa thực chất là một phép lượng tử hóa.

Sau đây ta sẽ dùng ký hiệu {  } cho Poisson bracket --> P(f,g)

 

và  dùng  ký hiệu [   ]  cho giao hoán tử lượng tử.

Giao hoán tử lượng tử xuất hiện như thế nào ?

Ý tưởng cơ bản của phép biến dạng lượng tử hóa (sẽ viết tắt là DQ-->deformation quantization) là làm biến dạng đại số giao hoán (commutative algebra) của các đại lượng quan sát cổ điển                                                                                  

 

                                          

 bằng cách sử dụng cái gọi là tích sao Moyal (Moyal star product).

Trước tiên ta cần phân tích dấu Poisson theo lũy thừa r, xin xem tài liệu  [2]:

 

Lúc này Moyal star product sẽ được định nghĩa như sau :

Định nghĩa . Tích sao Moyal (Moyal star product) là phép phản ánh xác định bởi công thức 

 

Các số hạng bậc LAMBDA  trong tích sao Moyal là những dấu ngoặc Poison và ta đã thu được đại số không giao hoán ghi là 

Khi  lambda tiến về số không ta sẽ thu lại được đại số của các đại lượng cổ điển.

Có thể biểu diễn tóm lược tích sao Moyal đã thực hiện mối tương ứng sau này giữa cổ điển và lượng tử :

      

Như vậy nói một cách đơn giản Moyal star product đã chuyển {  } thành [  ] .

Mối liên quan với cơ học lượng tử

Công cụ chính để xác định phổ là mũ sao (star exponential):

VÍ DỤ 

Xét một dao động tử điều hòa  H= ½( p 2 + q2 ) với tích sao Moyal. 

Một định nghĩa khác của sao exponential :

 

  .

Một lời giải của phương trình trên  là

 

Kết luận 

Như vậy ta thấy rằng nhờ biến dạng cấu trúc cổ điển ban đầu người ta có thu được cấu trúc lượng tử (với sự xuất hiện một thông số lambda mới đóng vai trò hằng số Planck).Khi hằng số này tiến đến số không ta có lại cấu trúc cổ điển.

Điều lý thú ở đây là tính lượng tử lại nằm tiềm ẩn trong toán học, dường như toán học (cụ thể là deformation quantization) đã hàm chứa tính lượng tử của vật lý và có thể mô tả thực tại lượng tử nhiều hơn chúng ta nghĩ. Cho nên dễ hiểu là thuyết biến dạng lượng tử hóa (deformation quantization) được phát triển mạnh mẽ nhờ công sức chung của các nhà vật lý và  những nhà toán học (Dito J.,DeWilde M.,Lecomte P.B.A., Fedosov B.V., Kontsevich M.,...).

TÀI LIỆU THAM KHẢO 

[1] Bayen, F., Flato, M., Fr¿nsdal, C., Lichnerowicz, A., Sternheimer, D.,Deformation Theory and Quantization, Annals of Physics 111 (1978), part I: 61-110, part II: 111-151.

[2] Daniel Sternheimer,Travaux mathematiques, Volume 20 (2012), 205{228, c 2012 

A very short presentation of deformation quantization,

some of its developments in the past two decades,

and conjectural perspectives

[3] Giuseppe Dito,Introduction to Deformation Quantization

Institut de Mathématiques de Bourgogne UMR CNRS 5584

Université de Bourgogne, Dijon, France