ĐỒNG ĐIỀU & ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU

 

 

Giới thiệu

CÁC LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU (HOMOLOGY)& ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU(COHOMOLOGY) 

56B

Các lý thuyết đồng điều và đối đồng điều có nhiều ứng dụng trong vật lý: nghiên cứu các tích phân Feynman [1] , nghiên cứu các trạng thái topo trong môi trường đông đặc [2].

Các nhà vật lý cho rằng muốn tìm hiểu được mọi trạng thái khả dĩ của vật chất nhất thiết phải sử dụng đến các lý thuyết đồng điều và đối đồng điều [3].

Sau đây là nhập đề về các lý thuyết đó [4].

1  /  Đồng điều

Hãy xét một không gian 2-chiều M (xem hình 1).Mọi đường cong có hướng đều là 1-simplex (1-đơn hình). Một đường thẳng có hai điểm mút là 1-đơn hình. Nếu 1-đơn hình không có điểm mút sẽ là 1-cycle

 

                                                          Hình 1

1-chain= AB (bất kỳ một đường nào trong M)

H, F, E, G, D, C =cycle (vòng kín)

E, C=là boundary vì bao trọn một vùng thuộc về M

F,G, D  boundary vì bao một vùng không thuộc về M

Chú ý vùng gạch chéo không thuộc về M .

Boundary của M = H-F-G

Hai cycle chỉ khác nhau vì boundary thì được gọi là đồng điều ( homologous) như E và C.

Bây giờ hãy xét một không gian cụ thể là hình xuyến (torus)

                                                                  Hình 2

CHÚ Ý Một tập các cycles đồng điều (homologous) làm thành một lớp homology.

Các lớp homology sẽ ứng với các hàm pha (phase functions ) đồng nhất (identified ) nhờ biến đổi chuẩn (gauge transformations). 

Mỗi lớp homology sẽ được đánh dấu bởi 2 số.Số thứ nhất biểu diễn mỗi cycle trong lớp đi vòng bao nhiều lần lỗ thứ nhất còn số thứ hai biểu diễn mỗi cycle đi vòng bao nhiêu lần lỗ thứ hai .Vì rằng các cycles tạo thành một nhóm cộng (additive)  vậy lớp homology cũng phải như thế vậy nhóm homology của hình trên là  .

Công thức tổng quát cho nhóm homology

Những 1-chain có boundary =0 làm thành nhóm Z 1 của các 1-cycles

Còn các 1-cycles vốn là boundary của 2-chain làm thành nhóm B 1 của các 1-boundary.

Homology đồng nhất các 1-cycles chỉ khác nhau bởi 1-boundary vậy ta thu được nhóm homology thứ nhất (theo định  nghĩa của nhóm thương)

   

 

  

 2  / Đối đồng điều (cohomology)

 de RHAM COHOMOLOGY

Có 3 loại cohomology : simplicial cohomology , cellular cohomology  và  de Rham cohomology (cho những đa tạp nhẵn -for smooth manifolds).

Sau đây chúng ta xét cohomology de Rham.

 Hai cycle chỉ khác nhau bởi boundary sẽ cho tích phân như nhau và  homology mô tả các tích phân đường của một trường vector không phải rot.

 

               Bảng tóm tắt liên hệ giữa  homology và Rham cohomology 

Vậy xác định một cycle và các trường vector khác nhau là tương đương với nhau.

Và nếu cộng vào trường   F     một gradient của potential  thì ta không làm thay đổi ∮.

Các dạng vi phân (differential forms):

Sau đây là các dạng vi phân  .

 

Chú ý : các chỉ số đối đồng điều viết lên phía trên (như các chỉ số contravariant trong giải tích tensor) còn các chỉ số đồng điều viết xuống phía dưới ( như các chỉ số covariant trong giải tích tensor).

3  / Ứng dụng vào môi trường đông đặc

 Các pha SPT

Các tác giả công trình [2] đã ứng dụng lý thuyết đối đồng điều để xếp hạng các trạng thái gọi là SPT trong môi trường đông đặc.

Ngay các trạng thái SRE (short range entanglement-liên đới gần)vốn không phá vỡ đối xứng nào và có cùng một đối xứng có thể thuộc về những pha khác nhau.Các pha 1-d Haldane của spin -1-chain và các cách điện topo là những ví dụ của các pha SRE có thể thuộc về những pha SRE không phá vỡ đối xứng nào .

Những pha đó nằm ngoài lý thuyết phá vỡ đối xứng Landau vì chúng không phá vỡ một đối xứng nào cả. Chúng ta sẽ gọi các pha đó là SPT(Symmetry Protected Topological ).

Kết quả :

 Các tác giả [2] đã thu được kết quả sau cho nhiều nhóm G. Sau đây là bảng kết quả ví dụ chỉ cho hai nhóm là SO(3) và SU(2).

Đối với các  hệ spin với đối xứng SO(3)(đối xứng quay spin) và hệ có đối xứng SU(2),từ  H  1+d [SO(3]  và H  1+d[SU(2)], các tác giả [2] đã tìm thấy 1 trạng thái trong d=0 và vô số trạng thái trong d=2.

Trong đó Z 1=pha bình thường (trivial phase),Z n =đối xứng vòng (cyclic symmetry).

Kết quả phong phú của [2] cho phép hiểu được  và tiên đoán  nhiều trạng thái của vật chất .

4  / Kết luận 

Các nhà vật lý có tham vọng xếp hạng tất cả trạng thái khả dĩ của vật chất [3] .Họ đã tìm thấy nhiều trạng thái mới dẫn đến khả năng xuất hiện nhiều vật liệu mới và từ đó nhiều công nghệ mới. Trong vấn đề xếp hạng này các lý thuyết đồng điều và đối đồng điều đóng vai trò quan trọng.

Tài liệu tham khảo

[1] RudolphC.Hwa,Vigdor L.Teplitz, Homology and Feynman integrals, NewYork, Amsterdam, 1966

[2] Symmetry protected topological orders

and the group cohomology of their symmetry group

Xie Chen, Zheng-Cheng Gu, Zheng-Xin Liu, and Xiao-Gang Wen

[3] Natalie Wolchover,CONDENSED MATTER PHYSICS

https://www.quantamagazine.org/physicists-aim-to-classify-all-possible-phases-of-matter-20180103/

[4]COHOMOLOGY FOR ANYONE

DAVID A. RABSON, JOHN F. HUESMAN, AND BENJI N. FISHER 

arXiv:cond-mat/0301601v1 30 Jan 2003