LÝ THUYẾT NÚT (KNOT THEORY)
LÝ THUYẾT NÚT (KNOT THEORY)
31B
Lý thuyết nút ra đời nhằm đưa ra một tiếp cận hình học cho vật lý hiện đại, nói cách khác rõ hơn là làm bộc lộ cơ sở hình học của các hiện tượng đó.
Các tác giả đang triển khai mạnh KT (Knot theory-Lý thuyết nút) là Cliff Ellgen,Garrett Biehle, xem [1].
Thế nào gọi là nút?
Lấy một sợi dây (1 chiều) ta có thể thắt sợi dây đó thành nhiều loại nút nếu đặt sợi dây đó trong không gian 1+2 chiều. Nói chung nếu có không gian n chiều thì không gian đó đó thể nút hóa (knotted) nếu nhúng không gian đó trong không gian n+2 chiều.
Sau đây là ví dụ 2 loại nút
Hình 1 .Bên trái là nút overhand knot còn bên phải là figure-eight knot.
Dùng một sợi dây ta có thể kiểm nghiệm trên thực tế ràng 2 nút đó hoàn toàn khác nhau :không có cách nào để biến nút 1 thành nút 2 trên hình 1 nếu không thực hiện động tác thắt (tying) hay mở thắt (untying).Có thể chứng minh bằng toán học rằng hai loại nút đó thuộc 2 loại nút khác nhau.Mọi loại nút đều như nhau nếu cho phép thực hiện phép thắt và mở thắt.
Định nghĩa toán học của nút : K là một nút nếu tồn tại một đồng cấu (homeomorphism) giữa một đường tròn C (nằm trong mặt phẳng R2 thỏa mãn x2+y2=1) với K (nằm trong R3).Theo định nghĩa toán học thì các nút ở hình 1 thực tế là các nút trình bày ở hình 2 và có thể mang tên khác là nút trefoil và four-knot [2].
Hình 2
Sau đây là hình vẽ một số nút
Hình 3
Topo của fermion [3]
Topo của fermion là R 3 #(S1xP2)
Hình 4. Bên trái là R2#P2 , còn bên phải là một nhát cắt R 3 #(S1x P2) ở góc (phi).
Ký hiệu trên có ý nghĩa như sau.Ta có không gian 2 chiều R2.
Muốn có topo R2#P2 (chú ý ký hiệu # =tổng liên thông -connected sum) ta lấy mặt phẳng R2 xong khoét thủng một đĩa D2.Nếu xét R3 ta sẽ có R 3 #(S1x P2),(xem hình 3).
Về chi tiết xin xem [3] trang 18.
Đa tạp phân nhánh (branched manifold)
Trong lý thuyết nút không thời gian gồm nhiều nhánh ( branch). Mỗi hạt là một nút trên một nhánh của không thời gian. Mỗi nút có thể chuyển động trên nhánh của mình, độc lập với các nút trên các nhánh khác.
Một hạt có thể gồm nhiều nút vì vậy một hạt có thể nằm ở nhiều vị trí đồng thời, điều này tương ứng với hiện tượng “chồng chất lượng tử “ .
Trước hết trong KT không thời gian nằm trong một không thời gian lớn hơn và không thời gian do đó có thể uốn cong thắt nút trong không thời gian lớn .Cụ thể hơn ta có đa tạp M 4 chiều ta sẽ nhúng M vào một không thời gian Minkowski 6 chiều .Đây là điều cơ bản của KT.
Sau đây là một số nội dung của KT.
A / Thống nhất hấp dẫn và Cơ học lượng tử . Kết hợp với mô hình hình học của hấp dẫn KT cho ta một cách mô tả thống nhất hấp dẫn và QM (Quantum mechanics-Cơ học Lượng tử ) bằng hình học. Như ta biết hấp dẫn là độ cong của không thời gian.
Hình 5
Mặt khác trong KT hạt lại là một nút.
Nút có một bán kính r, ngoài ra nút có thể quay một góc theta trong 2 chiều thêm vào của không gian lớn , cho nên nút sẽ có một biên độ phức là k=.rexpi(theta), đó là biên độ của nút.Vậy hàm sóng của hạt sẽ là biên độ của nút xin xem hình 5.
Hình 6. Hàm sóng là biên độ của nút
Hình 7. Không thời gian là phân nhánh, mỗi hạt có một nút trên các nhánh. Hàm sóng lượng tử là tổng các biên độ nút trên tất cả các nhánh.
Có thể nói là sự phân nhánh trong KT tái tạo lại hiện tượng giao thoa trong QM (Quantum Mechanics-Cơ học lượng tử).
Hình.8
Trong KN hấp dẫn là sự biến cong không thời gian (bending) còn QM là hệ quả của sự phân nhánh của không thời gian (branching). Hai hiện tượng đó xảy ra đồng thời và tương hợp.
Như vậy KT đã thống nhất được hấp dẫn và lượng tử (về mặt hình học ) trong cùng một lý thuyết là KT
B / Tương tác mạnh
Hình 9
Trong tương tác mạnh p & n được cấu tạo bởi quark, lực giữa quark là tương tác mạnh do gluon đảm nhiệm.Tương tác mạnh có 2 tính chất :cầm tù (confinement ) & tiệm cận tự do (asymptotic fredom). Trong KT hạt là những nút xem hình 10.
Hình 10
Những nút đó có thể liên kết với nhau, ở đây các nút bị liên kết là quark. Ví dụ proton gồm 3 nút liên kết.
Chi tiết hơn :mỗi fermion là một khuếch tật topo R3#(S1xP2) được xem như là một nút. Sự liên kết ở đây thực hiện được nhờ nhúng không thời gian vào một không thời gian lớn hơn n+2 chiều.
Sự liên kết này bảo đảm tiệm cận tự do: quark gần nhau không thể tác động nhiều lực lên nhau. Trong KT tiệm cận tụ do được bảo đảm vì các nút liên kết không thể có tác động lực lên nhau khi các nút đã qua gần nhau hơn bán kính của nút.
Ngoài ra KT còn bảo đảm hiện tượng cầm tù :các quark không thể tách rời lẫn nhau vì trong KT các nút liên kết không thể tách rời lẫn nhau.Trong KT khi các nút liên kết bị kéo xa nhau thì chúng lại bị kéo ngược lại bởi các nút khác . Lực kéo ngược đó chính là tác động của gluon trong SM (Standard Model-Mô hình chuẩn).
Nói tóm lại fermion là các nút trong KT, các nút liên kết là quark.Sự liên kết bảo đảm hiện tượng , tiệm cận tự do và cầm tù do đó sự có mặt của gluon-đó là tất cả hiện tượng của tương tác mạnh.Vậy tương tác mạnh chính là hệ quả của sự liên kết các nút.
Kết luận
Qua phần trình bày trên chúng ta có thể hiểu được KT đã làm bộc lộ cơ sở hình học của vật lý hiện đại trên cơ sở Lý thuyết nút như thế nào.
Lý thuyết nút là một đóng góp vào vật lý hiện đại. Một điểm quan trọng (cần nhấn mạnh ) là Lý thuyết nút cho chúng ta một cách thống nhất hấp dẫn+lượng tử bằng hình học (xem phần A / ).
Bài viết này chỉ trình bày một số điểm cơ bản của KT. Các tác giả Cliff Ellgen,Garrett Biehle đã trình bày đầy đủ sự phát triển KT thành một lý thuyết cơ bản hình học của vật lý hiện đại trong tài liệu [1] &[3].
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Cliff Ellgen,Garrett Biehle, Lý thuyết nút
http://knotphysics.net
[2] Richard H. Crowell
Ralph H. Fox, Introduction into knot theory
https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/crowfox.pdf
[3] Cliff Ellgen,Garrett Biehle,Physics on a Branched Knotted Spacetime Manifold,
https://www.researchgate.net/publication/316885627_Physics_on_a_Branched_Knotted_Spacetime_Manifold
Nhận xét
Đăng nhận xét