LTD,ĐẠI SỐ & LÝ THUYẾT SỐ
MỐI LIÊN QUAN KỲ DIỆU GIỮA LÝ
THUYẾT DÂY, ĐẠI SỐ & LÝ THUYẾT SỐ.
Sự phát hiện ra mối liên quan giữa LTD (Lý thuyết dây),đại số (gắn liền
với các đa tạp Calabi-Yao, K3) và lý thuyết số là một thành tựu nổi bật của các
nhà toán học và vật lý đề cập đến một vấn đề rất thời sự và chứa nhiều yếu tố
mới lạ gây ấn tượng mạnh lên trí tưởng tượng .
Mối liên quan này giúp các nhà vật lý LTD và các nhà toán học dễ dàng
hiểu nhau và giúp họ tìm những ý tưởng tương đồng trong quá trình nghiên cứu.
Bài viết này nhằm trình bày ý tưởng chính của vấn đề vốn rất đơn
giản.Trong phần tài liệu tham khảo có các đường link đến các kiến thức toán học
cần thiết.
Năm 1978 nhà toán học John McKay đã nhận xét một điều tưởng
chừng như một sự trùng hợp lạ lùng [1]. McKay nghiên cứu cấu trúc của một thực
thể toán học được gọi là siêu nhóm (monster group) [2] mà các nhà toán
học nghĩ rằng nhóm này trình bày một đối xứng mới.Họ tin rằng nếu siêu nhóm tồn tại thì nó hoạt động trong
những chiều đặc biệt, hai chiều đầu tiên là 1 và 196.883.
McKay cũng đề cập đến một lĩnh vực hoàn toàn khác liên quan
đến j-hàm số [3], một trong các đối
tượng cơ bản của lý thuyết số.Một điều lạ lùng là hệ số đầu tiên của hàm này là
196.884, McKay hiểu ngay rằng 196.884=1+196.883 là tổng của hai chiều đặc biệt
trong siêu nhóm.
Đa số các nhà toán
học nghi ngờ về mối quan hệ giữa siêu nhóm và j-hàm số. Song John Thompson ,
giải Field (Đại học
Năm 1979 John Conway(Đại học
Từ Ánh trăng được dùng để chỉ đến sự liên quan của hai đối tượng rất
cách xa nhau, tưởng chừng như không có điều gì là chung cả.Từ này được John
Conway & Simon P.Norton đưa vào năm 1979.
Như chúng ta biết đối xứng của
một hình sẽ ứng với một nhóm đại số.Trong suốt thế kỷ 20 các nhà toán
học đã xây dựng lý thuyết nhóm và xếp hạng chúng.
Nhóm có kích thước lớn nhất là siêu nhóm được phát hiện cuối
cùng.Siêu nhóm
(Monster group) có số yếu tố là 1053, số này lớn hơn số
nguyên tử trong một ngàn Trái đất. Theo Borcherds cái cầu nối giữa 2 lĩnh vực
đó chính là LTD (Lý thuyết dây-String
theory).Hàm j mô tả các dao động của dây trong một mô hình của LTD còn siêu
nhóm mô tả đối xứng của không thời gian
(có đa tạp Calabi-Yau) trong đó dây cư trú.
Sự phát hiện của Borcherds dẫn
đến một lĩnh vực mới đó là đại số Kac-Moody. Tiếc thay đối với các nhà LTD điều
này dường như dẫn đến một vũng nước tù, vì rằng LTD 24- chiều nối liền j-hàm số
với siêu nhóm đã bị bỏ rơi khỏi các mô hình LTD.
Song Ánh trăng giờ đây lại có
một thời phục hưng.
Năm 2012 các nhà khoa học đưa ra
giả thuyết Umbral Moonshine (Bóng Ánh trăng), theo giả thuyết này ngoài Siêu Ánh
trăng (Montruous Mooshine) còn có 23 Ánh trăng khác : tồn tại mối liên quan nói
chung giữa số chiều của một nhóm đối xứng và hệ số của một hàm đặc biệt.
23 ánh trăng mới bắt nguồn từ
một cấu trúc quan trọng trong LTD : đó là các mặt K3 [5],[6]. Mối liên quan đó
gắn liền với đối xứng ẩn của các mặt K3 đó, theo phát biểu của Miranda Cheng
(Đại học
Trong mỗi trường hợp trong số 23
trường hợp sẽ tồn tại một mô hình LTD.
Như chúng ta biết LTD tồn tại
trong không-thời gian 10-chiều, 6 chiều dư bị côm-pắc hóa nghĩa là bị cuộn
lại.Số khả năng côm-pắc hóa vào khoảng 10500 và khó lòng nói được
phương án côm-pắc hóa nào ứng với thực tại. Chúng ta không thể nghiên cứu hết
mọi khả năng côm-pắc hóa. Chúng ta cần một giải pháp đơn giản hóa. Phương án K3
là phương án không quá đơn giản mà cũng không quá phức tạp. K3 có các tính chất
của đa tạp Calabi-Yau của LTD mà chúng ta đã quen thuộc. K3 cũng là một đa tạp Kahler (variétés kählériennes) như Calabi-Yau.
Hình 1. Minh họa mặt K3
Hàm modular [7][8]
Như đã nói McKay
phát hiện mối liên quan giữa siêu nhóm và j-hàm. Các j-hàm thuộc về một lớp hàm
mà biểu đồ của chúng là những hình lặp lại giống như trong bức tranh của
họa sĩ M.C.Escher, các hình nhỏ dần khi đến gần biên.
Hình 2. Các hàm modular có biểu đồ lặp lại giống như trong bức tranh
trên
Các hàm modular đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết số
ví dụ trong phép chứng minh của Andrew Wiles năm 1994 định lý Fermat cuối
cùng.Nhà toán học Kachru phát biểu: mỗi lần chúng ta nghe nói đến một thành tựu
xuất sắc nào đó trong lý thuyết số là y như rằng điều đó có liên quan đến các
dạng modular.
Giống như trong âm học j-hàm
có thể phân tách thành các giọng và các hệ số của j-hàm môt tả độ trầm bổng của
mỗi giọng. Chính nhờ các hệ số này mà McKay phát hiện được mối liên quan đến siêu
nhóm (monster group).Năm 1990 Borcherds chứng minh
rằng tồn tại một mô hình LTD trong đó hệ số j-hàm mô tả sự dao động của dây tại
mỗi mức năng lượng còn siêu nhóm mô tả đối xứng của các mức năng lượng đó.
Nhờ đó mà các nhà toán học có thể nghiên cứu được siêu nhóm
bằng cách sử dụng j-hàm vì hệ số j-hàm là dễ tính hơn.Như vậy các nhà toán học
có thể nghiên cứu một lĩnh vực bằng cách nghiên cứu một lĩnh vực dễ tiếp cận
hơn.
Những Ánh trăng mới
Trong khi các nhà toán học đi sâu vào Siêu Ánh trăng thì các nhà vật lý LTD quan tâm đến vấn đề:
nghiên cứu hình học của những chiều không thời gian nhỏ trong các mô hình LTD.
Với các hình học khác nhau thì dây sẽ dao động khác nhau tương tự độ căng của
mặt trống sẽ làm thay đổi dao động âm của trống. Nhiều thập kỷ các nhà vật lý
đi tìm hình học tạo nên các hệ quả vật lý của thế giới thực tại.
Một yếu tố quan trọng là ứng viên cho một hình học như thế
là mặt K3 (theo chữ đầu của tên 3 nhà toán học Kummer, K¨ ahler, and Kodaira).
Năm 2010 ba nhà vật lý LTD Tohru
Eguchi ( Kyoto
University), Hirosi Ooguri ( California Institute of Technology)
và Yuji
Tachikawa (University
of Tokyo) tìm ra
các hàm mô tả dao động trong LTD
và hệ số các hàm đó ứng với các chiều của nhóm M24(Mathieu 24) chứa 250 triệu
yếu tố. Như vậy ba nhà LTD trên đã tìm ra một Ánh trăng mới. Các nhà toán học
và vật lý đều sửng sốt trước kết quả này. Nhà toán học Zagier phát biểu : tôi
tham dự nhiều hội thảo , tại hội thảo nào người ta cũng bàn đến M24, Ánh trăng
Mathieu.
Bản thân Zagier cũng đang nghiên
cứu những dạng gọi là ‘giả modular-mock modular’ [7],[8] gắn liền với các hàm
modular . Các dạng giả modular có lớp chứa các j-hàm .
Zagier đặt câu hỏi liệu các hàm
modular này có liên quan đến một nhóm nào không?Theo Duncan thì nhóm đó là M12,
ngoài nhóm M24. Như vậy có thể có nhiều Ánh trăng.
Năm 1913 nhà toán học Anh
G.H.Hardy nhận được một bức thư từ một tu sĩ ở
Ấn độ viết về một số công thức mà tu sĩ đã tìm ra. Hardy vội
mời tu sĩ đến Anh để cùng đàm luận .
Hình 3.
Thư của tu sĩ Ramanujan gửi nhà toán học Hardy
Ramanujan nói rằng các công thức ông tìm ra là nhờ thần
Namagiri đã mách bảo trong ý thức của ông. Đường đời của Ramanujan quá ngắn ông
mất lúc 32 tuổi năm 1920. Ông đã viết cho Hardy rằng ông đã tìm ra những hàm
gọi là ‘giả theta-mock theta”. Ramanujan đưa ra 17 ví dụ về các hàm đó.Chỉ sau
8 thập kỷ nhà toán học Sander Zwegers (Đại học Cologne, Đức) năm 2002 chúng
minh rằng các hàm đó chính là các dạng giả
modular (mock modular form).
Tại hội thảo Ánh trăng Zurich , các nhà vật lý Cheng, Duncan
và Harvey chứng minh rằng M24 chỉ là một trong 23 Ánh trăng khác, mỗi Ánh trăng
đó có liên quan đến các chiều đặc biệt của một nhóm và những hệ số của một dạng
giả modular, hoàn toàn tương tự như Siêu Ánh trăng đặt mối liên quan giữa siêu nhóm
và j-hàm.
Với mỗi Ánh trăng đó, các nhà khoa học đã đoán nhận sự tồn
tại của một mô hình LTD trong đó dạng giả
modular mô tả các trạng thái của dây còn nhóm mô tả hình học của mô hình.
Mỗi dạng giả modular gắn liền với
một hàm modular gọi là bóng (shadow, tiếng Latin Umbra). Theo giả thuyết Umbra
Moonshine tồn tại 23 ánh trăng, giả thuyết này được
Đi tìm quái vật
Những tìm tòi mới dẫn đến kết quả:
LTD nối liền những nhóm với những dạng giả modular.
Cheng cho rằng tồn tại một đối
xứng đặc biệt tác động lên vật lý của các mặt K3. Các nhà vật lý nghiên cứu K3
hiện chưa phát hiện được đối xứng này .
Các nhà vật lý cũng rất quan tâm
đến giả thuyết về mối liên quan giữa Ánh trăng và hấp dẫn lượng tử.Năm 2007
Edward Witten (giải Fields) cho rằng LTD trong Siêu Ánh trăng (monstruous moonshine) có thể giúp xây dựng
một lý thuyết hấp dẫn lượng tử 3-chiều
trong đó 104 phân loại (categories) của các yếu tố sẽ ứng với 194 lớp
các lỗ đen.
Giả thuyết Umbral Moonshine có thể
dẫn các nhà vật lý đến kết quả như vậy đồng thời cung cấp những gợi ý khác cho
lý thuyết hấp dẫn lượng tử. Tình huống giống như khi truy tìm một quái vật trên
sao Hỏa chúng ta đã thấy được các vết chân của con thú , bây giờ công việc còn
lại là phải tìm ra nó.
Kết luận
Sự phát hiện ra mối quan hệ giữa LTD,đại số (nhóm) và lý
thuyết số không những giúp các nhà vật lý LTD tìm ra được nhiều nhiều phương án
côm-pắc hóa các chiều dư mà còn giúp ngược lại các nhà toán học phát hiện thêm
nhiều Ánh trăng.
Có thể nói mối liên quan này đã mở ra một trang mới cho
LTD,đại số và lý thuyết số.
Cao Chi
Tài liệu tham khảo
[1] a / Erica Klarreich,Mathematicians Chase Moonshine’s Shadow-
Các nhà toán học đi
tìm Bóng Ánh trăng , ScientificAmerican.com.
https://www.quantamagazine.org/20150312-mathematicians-chase-moonshines-shadow/
b / Wolchover, The physicist-mathematician Miranda Cheng is working to
harness a mysterious connection between string theory, algebra and number
theory.
https://www.quantamagazine.org/20160804-miranda-cheng-moonshine-string-theory/
[2] WIKI, Monster
group
https://en.wikipedia.org/wiki/Monster_group
[3] Wolfram,
j-Function
http://mathworld.wolfram.com/j-Function.html
[4] WIKI, Montrous
Moonshine
https://en.wikipedia.org/wiki/Monstrous_moonshine
[5] WIKI, K3 surfaces
https://en.wikipedia.org/wiki/K3_surface
[6] Andrew J. Hanson ,Ji-Ping Sha, Visualizing the K3 Surface
ftp://ftp.cs.indiana.edu/pub/hanson/forSha/AK3/old/K3-pix.pdf
[7] Amanda Folsom ,
What is a Mock Modular
Form?
http://www.ams.org/notices/201011/rtx101101441p.pdf
[8] Atish Dabholkar, Sameer Murthy, and Don Zagier
Quantum Black Holes,
Wall Crossing, and Mock Modular Forms
http://arxiv.org/pdf/1208.4074.pdf
Nhận xét
Đăng nhận xét