giới thiệu LÝ THUYẾT PHẠM TRÙ (THEORIE DES CATEGORIES)

 

Giới thiệu Lý thuyết Phạm trù (THÉORIE DES CATÉGORIES)

 

Trong tài liệu [1] tác giả Manon Bischoff đã công bố một bài viết rất hay về lý thuyết PHẠM TRÙ.

Sau đây là nội dung (có tóm tắt).

Lý thuyết này đã xuất hiện  khoảng 80 năm , cho phép thiết lập mối quan hệ giữa các ngành toán học cho nên sức mạnh phát triển lớn. Hiện nay mối quan hệ đó lan truyền sang cả VẬT LÝ,INFORMATIQUE (thông tin) và cả NGÔN NGỮ HỌC.

Từ trên cao nhìn xuống ta thấy trước hết lĩnh vực SỐ HỌC , sau đó LÝ THUYẾT SỐ (trong đó là những số nguyên tố và các cấu trúc lạ ), xa hơn là ĐẠI SỐ ( có các ma trận ),TOPO, TOPO ĐẠI SỐ ,…

Mỗi lĩnh vực đang phát triển mạnh mẽ . Đồng thời các nhà toán học đang tìm các cái cầu nối liền các lĩnh vực trên ví dụ cầu chuyển giữa một bài toán giải tích sang ngôn ngữ lý thuyết số . Đó là nội dung của LÝ THUYẾT PHẠM TRÙ (viết tắt là LTPT).

Nhà nữ toán học Tai-Danae Bradley phát biểu rằng rất ấn tượng khi tìm ra cầu nối giữa hai lĩnh vực hoàn toàn khác nhau.

LTPT cung cấp một cách nhìn toàn diện đối với các lĩnh vực toán học . Lý thuyết này đã thiết lập mối đồng dạng và sụ liên thông giữa các lĩnh vực. Lý thuyết này gợi ý những con đường chưa biết cho lời giải một bài toán cụ thể .

TÍNH TỔNG QUÁT LỚN

Vì trong LTPT  (theorie des categories) các khái niệm rất tổng quát , một LTPT chứa một tập các đối tượng nối liền với nhau bởi những MORPHISME (cấu xạ).

Một LTPT gồm các đối tượng A,B,C,…(nút màu đỏ trên hình 1)và các biến đổi  f,g,h,…(morphismes )

f:AàB , lA: AàA (đồng nhất) g:BàC,f:AàC, h: (g. f)=(h.g).f.

 

                                                                    Hình 1

Rene Descartes (thế kỷ XVII )đã chứng minh : nhiều bài toán hình học cóthể giải được bằng các phương trình đại số . Ông đưa vào hệ tọa độ cartesienne để nối liền trực tiếp hình học và đại số.

Người ta cũng chứng minh rằng topo chỉ mô tả các dạng không có metric, mặt khác lý thuyết số chỉ quan tâm đến các số , tuy nhiên hai lĩnh vực này lại liên quan chặt chẽ với đại số.

Foncteur (hàm tử )=cầu nối giữa các categorie (hình 2 & 3)

 

                                                                  Hình 2

 

Noether tìm ra các nhóm homologie(nhóm đồng điều) ứng với những đại lượng bất biến topo :

Nếu ta làm biến dạng một không gian mà không làm mất đi các bất biến gắn liền thì tồn tại các biến đổi tương ứng trên các nhóm homologie.

                                                                               Hình 3

 

MỘT CÁI CẦU GIỮA CÁC LĨNH VỰC

Như vậy LTPT đặt các cái cầu giữa các lĩnh vực :như giữa ĐẠI SỐ & TOPO. Trong nhiều lĩnh vực LTC trở nên cần thiết thậm chí nhất thiết để giải quyết những bài toán phức tạp.

KẾT LUẬN

Lý thuyết các phạm trù có thể nói là một lý thuyết thống nhất rất tổng quát : LTPT không những tìm ra các cái cầu nối liền không những các lĩnh vực toán học như đại số với topo mà còn có khả năng nối liền với vật lý , thông tin (informatique ) ,.. và cả ngôn ngữ học .

Nhiều nội dung chi tiết hơn xin tìm trong tài liệu [2] . 

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Manon Bischoff,Theorie des Categories

Pour la Science số tháng 12 /2021

[2] Emily Riehl , Des categories à l’infini, Pour la Science số tháng 12/2021