GRASSMANNIAN

 

GRASSMANNIAN

Giới thiệu 

GRASSMANNIAN

85B

Ta có thể hiểu quá trình biến một bài toán tán xạ lượng tử thành một bài toán hình học (amplituhedron ) như sau:

Tán xạ lượng tử  --> công thức đệ quy   BCFW (recursion relations Ruth Britto, Freddy Cachazo, Bo Feng, Edward Witten) -->  twistor --> grassmannian --> grassmannian dương 

--> amplituhedron  hình học .

GRASSMANNIAN  là gì ?

Tọa độ Plucker  

Arkani-Hamed-Bourjaily-Cachazo-Goncharov-Postnikov-Trnka) chứng minh rằng lý thuyết Grasmannian dương có thể dùng trong các biên độ tán xạ.

Grasmannian được đặt theo tên của Hermann Grassmann, cha đẻ của đại số tuyến tính.

Hồi quy Amplituhedron

Hình dáng của amplituhedron giống như một viên ngọc  có nhiều mặt trong không gian nhiều chiều.Trong thể tích của viên ngọc này được tích lũy mã hóa những đặc trưng cơ bản của “ biên độ tán xạ-scattering amplitudes “-tức xác suất khi một số hạt va chạm biến thành nhiều hạt khác sau va chạm.

Một tiến bộ lớn là việc tìm ra các hệ thức đệ quy BCFW (recursion relations Ruth Britto, Freddy Cachazo, Bo Feng, Edward Witten), các hệ thức này thuộc bậc cây (tree level) biểu diễn gọn nhờ các biến số gọi là “xoắn tử-twistors” và tương tác các hạt được biểu diễn thành những giản đồ xoắn tử (twistor diagrams).

Công thức đệ quy BCFW, sử dụng trong công thức tích phân Grassmann và polytopes . Những ý tưởng đó tiến đến Grassmannian dương (positive Grassmannian ) và amplituhedron.

Các hệ thức đệ quy và các giản đồ xoắn tử tương ứng với một đối tượng hình học. Arkani-Hamed và các bạn đồng nghiệp chứng minh rằng các giản đồ xoắn tử cho phép tính thể tích các yếu tố của đối tượng này vốn được gọi là Grassmannian dương (positive Grassmannian).

Grassmannian dương hiểu đơn giản là nội vùng của một tam giác (inside of a triangle) Arkani-Hamed giải thích như vậy . Tương tự như vậy nội vùng của một tam giác là vùng giới hạn bởi những đường thẳng cắt nhau thì Grassmannian dương nới rộng ra là vùng trong một không gian N-chiều giới hạn bởi những mặt phẳng cắt nhau.

Hai tác giả Arkani-Hamed & Trnka đã chứng minh rằng biên độ tán xạ = thể tích của amplituhedron.Những phần của Grassmannian dương được tính nhờ các giản đồ xoắn tử xong được cộng lại và là những khối xây dựng cấu thành một viên kim cương ngọc giống như các tam giác hợp thành một polygon (hình đa giác).Nếu sử dụng các giản đồ Feynman thì chúng ta có tình huống tương tự như việc lấy một bình cổ thời Minh và đập nát nó thành những mảnh nhỏ trên sàn nhà(Skinner nói như vậy).

Nói cách khác amplituhedron ta có thể tính những tán xạ mà nếu dùng Feynmann thì ta gặp một tình huống vô vọng vì số giản đồ Feynmann quá nhiều