ĐỒNG ĐIỀU (HOMOLOGY) & TOPOLOGY

  

HOMOLOGY & TOPOLOGY

CÁC NHÀ TOÁN HỌC ĐÃ SỬ DỤNG HOMOLOGY ĐỂ LÀ SÁNG TỎ TOPOLOGY

72B

Sau đây là ý tưởng chính của tác giả [1]: sử dụng homology để làm sáng tỏ (make sense) topo.

Topo thuần túy xem như là một ngành toán học không chính xác. Trong topo chỉ có thể uốn ,làm dãn và nén song không thể diệt hoặc tạo các lỗ (hole) của một đối tượng. 

Trong topo không thể phân biệt một cốc cà phê với một bánh rán tròn (doughnut ) vì cả hai đối tượng đó đều có một lỗ. Topo thuần túy không mang tính  chặt chẽ của toán học . 

Song chính lý thuyết đồng điều (homology ) đã hỗ trợ topology có được tính chặt chẽ của toán học.Vậy khi đối diện với một đối tượng các nhà toán học sử dụng homology để làm sáng tỏ ý tưởng của topo.

Homology nghiên cứu các lỗ hổng bằng cách nghiên cứu các biên (boundary) của chúng.Homology lại là một lĩnh vực toán học chặt chẽ. Ý tưởng chính của [1] là dùng homology để làm sáng tỏ ý nghĩa của topo.

Về homology xin tham khảo tài liệu [2].

LỖ VÀ BIÊN (HOLE AND BOUNDARY)

Sau đây hinh 1 & 2 sẽ minh họa hình tượng của lỗ (hole) và biên (boundary).

 

                                                                  Hình 1 

Trên hình 1 ta thấy lỗ 2 chiều trông như một quả  bóng rỗng .Ta thiếu một định nghĩa toán học khi tăng số chiều lên .Jose Perea (Michigan university ) đã phát biểu : “There’s not a good definition of a hole”.

Trong khi đó Homology nghiên cứu các lỗ bằng cách xét  biên của chúng:  để nghiên cứu các lỗ của một đối tượng chỉ cần nghiên cứu các biên (boundary ) của chúng (xem hình 2). 

Biên một đối tượng là tập các điểm ở rìa : biên của một hình có số chiều ít hơn một so với số chiều của đối tượng. Ví dụ : biên của một đoạn thẳng 1 chiều là 2 điểm ở các cuối đoạn . (Điểm được coi là có không chiều ). Một tam giác đặc có biên là một tam giác trống, gồm các cạnh 1 chiều ,một hình chóp (pyramid) đặc có biên là một hình chóp trống  (xem hình  2 ).

 

 

 

                                                             Hình 2

Theo hình 2 ta thấy ví dụ 1 tam giác rỗng 1 chiều là không có biên trong khi một tam giác đặc 2 chièu có biên là một tam giác rỗng 

Để tìm được các loại lỗ của một hình thù topo các nhà toán học xây dựng cái gọi là CHAIN COMPLEX (đa hình xích - yếu tố cơ sở của HOMOLOGY).

 

                                                                            Hình     3

Các dữ liệu sẽ là các điểm (points floating in space) : vị trí  các đối tượng vật lý như sensors . Để có hình dạng (shapes) các nhà toán học nối liền các điểm lân cận ,khi có 3 điểm chúng hình thành một tam giác đặc , nếu có nhiều điểm hơn chúng hình thành một hình dạng (shapes) nhiều chiều .

Homology sẽ diễn dịch các hình dạng đó bằng đại số  [2]: đại số homology. 

Robert Ghrist (Đại học Pennsylvania) phát biểu rằng homology là một công cụ giúp chúng ta ngoài topo (định tính) có một tiếp cận homology ( đại số ) để làm sáng tỏ khía cạnh topo.

TÀI LIỆU THAM KHẢO 

[1]Kelsey Houston-Edward,How Mathematicians use Hokology to make sense of topology

https://www.quantamagazine.org/how-mathematicians-use-homology-to-make-sense-of-topology-20210511/

[2] Cao Chi , Đồng điều và đối đồng đièu 

https://www.facebook.com/chi.cao.7165/posts/2853675898187479

https://www.blogger.com/blog/post/edit/6367301289370266987/134844673376075487