GIẢ THUYẾT VŨ TRỤ TOÁN HỌC CỦA MAX TEGMARK

 GIẢ THUYẾT VŨ TRỤ TOÁN HỌC của MAX TEGMARK (PHẦN II)

 71B

Giả thuyết Vũ trụ toán học =MUH -Mathematical Universe Hypothesis 

Nhà toán học Tegmark đã đưa ra  giả thuyết toán học là tất cả: thế giới thực tại đẳng cấu (isomorphic) với toán học. Thế giới vật lý thực tại là một cấu trúc toán học.

Đây là một dạng nhất nguyên luận (monism)  toán học trong nghĩa cho rằng không gì tồn tại loại trừ các đối tượng toán học, 

 

Tegmark cho rằng chỉ những cấu trúc tính được và khả quyết (decidable) trong nghĩa Godel là tồn tại điều này làm giảm nhẹ bài toán số đo vũ trụ (cosmological measure problem)và giúp giải thích tính đơn giản tương đối của các định luật vật lý.  

                                     Phần 2

Những ràng buộc cho một TOE

A / Các thông số liên tục 

Những thông số liên tục quan trọng bảo đảm khả năng Vũ trụ hàm chứa SAS. Sau đây là 6 tham số quan trọng cho vùng năng lượng thấp (và trị số trong đơn vị Planck  h=c=G=1):

Những trị số quan sát được thực tế nằm gọn trong một hình vuông nhỏ (xem hình 3 bên trái ). Các lý thuyết thống nhất loại mọi khả năng trừ một dải hẹp giữa hai đường thẳng đứng và chúng ta nằm trên một điểm trên đường cong lấm chấm. Vùng nằm về phía trái của hình 3 bên trái ứng với điện từ yếu hơn hấp dẫn nên bị loại.

 

Bây giờ chuyển sang vấn đề liên quan đến tương tác mạnh (hình 3 bên phải).Một hạt nhân chỉ ổn định hay không tùy theo lực hút giữa các nucleon mạnh hơn hay yếu hơn sức đẩy Coulomb. 

B / Các thông số gián đoạn

Số chiều không gian

 

Nếu số chiều không gian n khác 3 thì vũ trụ khó lòng chấp chứa các SAS. Nếu n > 3 thì các quỹ đạo của nguyên tử lẫn của các hành tinh sẽ không ổn định. 

Khi n>3 bài toán 2 vật không có lời giải cho quỹ đạo ổn định (hình 4 bên trái).

Trong CHLT phương trình Schodinger chúng tỏ rằng nguyên tử Hydrogen cũng không có trạng thái liên kết khi n>3. Tình trạng trong hấp dẫn cũng như vậy. Như thế ta cũng không có những vũ trụ chấp nhận SAS.

 

 

 

Hình 4.Bên trái:trong không gian n=4 chiều hạt nhẹ khi tiếp cận hạt nặng hơn thì hoặc sẽ thoát ra vô cực hoặc bị nuốt vào hạt lớn trong một cuộc va chạm có tính tai họa. Không tồn tại quỹ đạo ổn định. Khi n=3 ta có những quỹ đạo ổn định elliptic hoặc parabolic hoặc hyperbolic.

 

Bên phải :những điều kiện ràng buộc về số chiều của không gian và thời gian 

Không thời gian 1+3 tương đương với không thời gian 3+1 song ta phải có tachyon-hạt chuyển động nhanh hơn ánh sáng (và có khó khăn với vấn đề ổn định).

Khi n < 3 các cơ thể sống gặp khó khăn với các vấn đề topo, ví dụ lúc n=2 các dây thần kinh có thể không gặp nhau.Một vấn đề khác nhấn mạnh bởi Wheeler là lúc n < 3 sẽ không tồn tại lực hấp dẫn trong GR (trong khi đó hấp dẫn Newton vẫn chấp nhận lực hấp dẫn khi n < 3.Các thế giới với n < 3 quá đơn giản và cằn cỗi không dung nạp được sự tồn tại của SAS.

 Số chiều thời gian m

Vì sao thời gian chỉ có một chiều? (xem hình 4 bên phải)Chúng ta sẽ đưa ra các lý lẽ chứng tỏ rằng số chiều thời gian m=1 là cần thiết cho SAS (không kể đến n bằng bao nhiêu).

Nếu m>1 khó lòng mà hiểu tại sao SAS duy trì được những “suy nghĩ” những “nhận thức” vốn là những quá trình tiếp diễn trong một chiều đặc trưng cho nhận thức thực tế của chúng ta.

Lúc này năng lượng không còn là một vô hướng nữa mà là một vector (nhớ rằng năng lượng đói ngẫu với thời gian) và theo đó có sự tiến triển theo nhiều hướng thời gian. Vì vậy nếu có 2 quan sát viên chuyển động theo 2 hướng thời gian gặp nhau tại một điểm nào đó của không thời gian thì cũng sẽ tách xa nhau theo các hướng thời gian tách biệt nhau nói cách khác không thể ở lại cùng nhau được.

 Một lý luận khác là các hạt không còn ổn định khi m >1.Khi m=1 một hạt có thể phân rã thành nhiều hạt khác nếu khối lượng hạt ban đầu lớn hơn tổng khối lượng các hạt sản phẩm.Song nếu m >1 thì điều kiện này không còn nữa

Và một proton có thể phân rã thành một neutron, một positron và một neutrino.Ngoài ra nếu m>1 người ta có thể tưởng tượng đến một nhân quả ngược (backward causation).

 

Tóm tắt về n và m

· Khi m >1 hay < 1 không tiên đoán được, 

· Khi n >3 bức tranh thế giới thực tại không ổn định,

· Khi n < 3 không đủ phức tạp để dung nạp SAS.

C / Thay đổi topo ?

Ta có thể nghĩ đến để khảo sát sâu thêm vùng thuận lợi cho SAS là thay đổi topo của không thời gian vĩ mô và vi mô

Một số phản biện và một số trả lời của Tegmark

Quan điểm dựa trên phạm trù 1a này được Tegmark trình bày trong cuốn sách Vũ trụ toán học của chúng ta (Our Mathematical Universe) xuất bản năm 2014, [1]&[2].

Quan điểm của Tegmark về TOE có tên gọi là MUH (Mathematical universe hypothesis): Thế giới vật lý thực tại là một cấu trúc toán học.

Giả thuyết Tegmark cho rằng các thế giới ứng với nhiều tập điều kiện ban đầu, nhiều hằng số vật lý và nhiều phương trình khác nhau đều có xác suất như nhau.

Giả thuyết này có thể xem như là một dạng Pythagoreanism hay Platonism (xem chú thích [3]) khẳng định sự tồn tại của những thực thể toán học, đây là một dạng nhất nguyên luận (monism) toán học trong nghĩa cho rằng không gì tồn tại loại trừ các đối tượng toán học.Tegmark xem đây là giả thuyết hợp lý nhất theo nguyên tắc dao cạo Occam (Occam Razor),xem chú thích [7]. Tegmark cho rằng các tiểu cấu trúc tự nhận thức là những dạng toán học SAS (Self-Aware substructure) tồn tại trong thế giới thực tại.

Giả thuyết Tegmark có liên quan đến nguyên lý vị nhân và cách xếp hạng đa vũ trụ thành 4 mức.

PHẢN BIỆN 

1 / Andreas Albrecht (Đại học hoàng gia London) cho rằng đây là một lời giải mang tính “thách đố” đối với bài toán số một của vật lý, bài toán xây dựng TOE.Ông còn cho rằng thật khó để xây dựng TOE giải thích được mọi điều hiện có trong thế giới thực tại.

2 / Jurgen Schmidhuber lý luận rằng mặc dầu Tegmark cho rằng mọi cấu trúc toán học có những trọng số như nhau song không có một lý lẽ nào để biện minh cho một xác suất bằng nhau và khác không đối với mọi cấu trúc toán học (có thể là vô cùng lớn).

 TRẢ LỜI

 Tegmark cho rằng số đo vũ trụ là bài toán khó vẫn chưa được giải ngay trong biểu diễn phong cảnh (xem chú thích [5]) của LTD (String theory landscape).

PHẢN BIỆN·

1 / Tác giả Ellis cho rằng MUH không đúng vì rằng tập vô cùng các vũ trụ không liên thông với nhau là không kiểm nghiệm được (non testable).

 2 / Schmidhuber nghĩ đến một tập giới hạn hơn chỉ chấp nhận những biểu diễn vũ trụ bằng toán học kiến thiết (constructive mathematics) nghĩa là những chương trình máy tính.

TRẢ LỜI .

Để trả lời Tegmark tham chiếu đến CUH.

PHẢN BIỆN 

 Tác giả Jannes cho rằng MUH đựa trên quan điểm của Platon là toán học là một thực tại khách quan, song toán học cũng chỉ là một kiến trúc xây dựng bởi con người. 

TRẢ LỜI

 Tegmark cho rằng ngôn ngữ toán học cũng sẽ hiểu được với mọi SAS thể như những con người ngoài trái đất và nhấn mạnh rằng con người  Tegmark cho rằng ngôn ngữ toán học cũng sẽ hiểu được với mọi SAS thể như những con người ngoài trái đất và nhấn mạnh rằng con người sáng tạo ra ngôn ngữ toán học song chỉ  ra ngôn ngữ toán học song chỉ phát hiện ra những cấu trúc toán học ( we  ra những cấu trúc toán học ( we invent the language of mathematics but  the language of mathematics but discover the structure of mathematics).

PHẢN BIỆN 

1 / Theo R.Schlafy thì sai lầm lớn nhất trong vật lý lý thuyết hiện đại là cho rằng bản chất đúng của thiên nhiên là toán học.

 2 / Steve Faulkner cho rằng thiên nhiên có toán học của nó.Toán học do chúng ta sáng tạo chỉ mô tả thiên nhiên một cách hình thức mà thôi. Toán học do người sáng tạo không đủ tinh vi so với toán học của thiên nhiên để có thể mô tả thiên nhiên một cách chính xác tuyệt đối. Toán học của ta chỉ là cách nhìn của chúng ta một cách xấp xỉ toán học của thiên nhiên. Ví dụ thử hỏi điều gì đã giúp chúng ta lên mặt trăng, lên sao Hỏa và hơn nữa? Câu trả lời là: đó là toán học giúp ta hiểu được gần đúng các lực , không thời gian và vũ trụ. 

 3 / Vikram Zaveri lại cho rằng không phải toán học xác định các cấu trúc của tự nhiên mà chính các cấu trúc tự nhiện lại xác định toán học. Ví dụ quá trình đo đạc các cấu trúc tự nhiên đẻ ra hình học Euclide.Quá trình đo đạc sự lan truyền ánh sáng dẫn đến lý thuyết tương đối.Quá trình đo đạc chuyển động của electron đẻ ra cơ học lượng tử.

4 / Nhiều tác giả cho rằng toán học luôn tiến triển cho nên không có một lý do nào để nói rằng toán học sẽ hội tụ đến một cấu trúc nào đó . 

TRẢ LỜI. 

Tegmark lý luận rằng một toán học không phải do con người xây dựng chỉ khác toán học do con người xây dựng ở điểm chúng ta (con người) đã vén lên một bộ phận của một bức tranh chung mà thôi với ý nghĩa đó ta nói có sự hội tụ cấu trúc của toán học là bức tranh chung đó. 

PHẢN BIỆN

 Alexander Vilenkin lại cho rằng: số lượng các cấu trúc toán học luôn tăng dần với độ phức tạp vì vậy những cấu trúc “tiêu biểu” sẽ vô cùng phức tạp.Điều này mâu thuẫn với vẻ đẹp đơn giản của một lý thuyết mô tả vũ trụ khách quan.

TRẢ LỜI.  

Tegmark lại nghĩ rằng những cấu trúc phức tạp có trọng số nhỏ.

(Song phát biểu này hoàn toàn võ đoán vì ai xác định được trọng số đó).

Tegmark sử dụng nguyên tắc dao cạo Occam (Occam razor) (xem chú thích [7]).

PHẢN BIỆN 

1 /  Massimo Pigliucci lại cho rằng nguyên tắc này (Occam)chỉ có ý nghĩa phương pháp khám phá (heuristic) chứ không thể sử dụng như một tiêu chí trọng tài để quyết định lý thuyết nào là đúng đắn.

2 / Nhiều tác giả cho rằng MUH không phù hợp với Định lý không đầy đủ Godel (Theorem of Incompleteness), xem chú thích[4].

3 / Ramon cho rằng nếu bạn hỏi các mệnh đề toán học là đúng hay sai thì câu hỏi này chỉ được trả lời nhờ hệ quy tắc và tiên đề ( hệ hình thức) song không tồn tại chân lý tuyệt đối trong toán học.

 4 / Alex Vilenkin hỏi:Nếu tất cả các cấu trúc toán học MS (mathematical structure) đều có trọng số như nhau , số lượng chúng lại vô cùng thì làm thế nào để biết ta thuộc vào cấu trúc toán học nào?

 Ngoài ra nếu cho rằng thế giới vật lý đồng cấu với MS thì phần tương ứng vật lý với những mệnh đề không khả quyết (undecidable propositions-xem chú thích [4]) trong định lý Godel là gì?

TRẢ LỜI .

Tegmark trả lời:

Bài toán đo vũ trụ (xem chú thích [6])-tức bài toán tính xác suất của các vũ trụ khác nhau trong đa vũ trụ- chưa được giải quyết trong mức IV.Có thể cho rằng:

-Số đo này tỷ lệ nghịch với độ phức hợp

-Chỉ những cấu trúc toán học khả quyết đầy đủ Godel (Godel-complete) (full decidable) mới có PE. Điều này làm hẹp mức IV và đặt một giới hạn trên cho sự phức tạp.Có thể nhận xét rằng tuy chúng ta vẫn dùng các MS bất định-Godel (Godel-undecidable) để mô tả thế giới vật lý song MS thực chất mô tả thế giới vật lý không thể là một MS không khả quyết-Godel.

 Kết luận

MUH dựa trên ERH đối ngược với quan điểm của trường phái Copenhague vốn cho rằng những khái niệm dính liền với con người như quan sát lại là những điều cơ bản nhất.MUH quả là một thách thức đối với việc xây dựng một Lý thuyết của Tất cả -TOE.

Giả thuyết MUH của Tegmark thật sự làm rung động các nhà toán học và các nhà vật lý. Nếu quả MUH đúng thì đây là một điều kỳ diệu triết học: Giả thuyết MUH của Tegmark thật sự làm rung động các nhà toán học và các nhà vật lý. Nếu quả MUH đúng thì đây là một điều kỳ diệu triết học: thiên nhiên đã tạo ra những SAS như con người có khả năng sáng tạo ra toán học để mô tả ngược lại thiên nhiên một cách đẳng cấu.

Tài liệu tham khảo & chú thích 

[1] Max Tegmark, Is “the theory of everything" merely the ultimate ensemble theory?Institute for Advanced Study, Olden Lane, Princeton, NJ 08540; max@ias.edu gr-qc/9704009 v2 1Dec 1998

[2] Max Tegmark,Our Mathematical Universe , 2014

[3] Học thuyết Plato chủ trương rằng những vật thể thực tại chỉ là những bản copy của những ý tưởng siêu đẳng và những ý tưởng này mới là đối tượng của chân lý . Các hiện tượng trong thế giới chỉ là sự phản ánh chuyển tiếp và không hoàn chỉnh của những ý tưởng này. 

 [4] Các định lý GODEL .Định lý thứ nhất nói rằng : Mọi hệ tiên đề hình thức số chứa những mệnh đề không khả quyết-có nghĩa là chứa những mệnh đề S mà sự khẳng định S cũng như sự phủ định S đều không thể chứng minh được (-có nghĩa là chứa những mệnh đề S mà sự khẳng định S cũng như sự phủ định S đều không thể chứng minh được (Any formal axiomatic system containing arithmetic contains undecidable propositions-i.e. contains sentences S such that neither S nor the negation of S can be proved).

Định lý thứ hai nói rằng :Tính nhất quán (không mâu thuẫn) của một hệ hình thức số không thể chứng minh được chỉ nhờ bản thân hệ đó –mà phải nhờ đến một hệ mạnh hơn.

(The consistency of a formal system containing arithmetic cannot be proved by means using the formulation of the system itself-only by using a stronger system).

[5] Phong cảnh (landscape),từ này được sử dụng trong LTD(lý thuyết dây), không-thời gian có nhiều chiều hơn 4, khi com-pắc hóa (co) các chiều dư lại ta có một đa tạp chứa nhiều cực đại, cực tiểu trông giống một phong cảnh có núi đồi.

 [6]Bài toán số đo vũ trụ (measure problem):trong đa vũ trụ có nhiều vũ trụ, việc tính xác suất của các vũ trụ con gọi là bài toán số đo vũ trụ

[7] Occam razor (nguyên tắc dao cạo Occam). Nguyên tắc này phát biểu rằng giữa các giả thuyết đồng xác suất thì giả thuyết cần chọn là giả thuyết với số giả định nhỏ nhất.