GIẢ THUYẾT VŨ TRỤ TOÁN HỌC CỦA MAX TEGMARK

 Giả thuyết vũ trụ toán học của (MUH -Mathematical Universe Hypothesis) của MAX TEGMARK       

(phần 1)

70B

Nhà toán học Tegmark đã đưa ra  giả thuyết toán học là tất cả: thế giới thực tại đẳng cấu (isomorphic) với toán học. Thế giới vật lý thực tại là một cấu trúc toán học.

Đây là một dạng nhất nguyên luận (monism)  toán học trong nghĩa cho rằng không gì tồn tại loại trừ các đối tượng toán học, 

Tegmark cho rằng chỉ những cấu trúc tính được và khả quyết (decidable) trong nghĩa Godel là tồn tại điều này làm giảm nhẹ bài toán số đo vũ trụ (cosmological measure problem)và giúp giải thích tính đơn giản tương đối của các định luật vật lý.  

 

Bài viết này chia làm 2 phần. Phần thứ nhất nói về những vấn đề chung như cấu trúc toán học, lý thuyết TOE, … Phần thứ hai nói về những điều kiện ràng buộc đối với TOE, những phản biện và một số trả lời của Tegmark.

                                                               Phần 1

Các cấu trúc toán học

 

 

        

 Hình 1..Mối liên quan giữa các cấu trúc cơ bản của toán học.Các mũi tên biểu diễn quá trình đưa vào các ký hiệu mới hoặc các tiên đề mới.Ví dụ Tính toán vị từ  dưới (Lower predicate calculus) đưa vào các lượng từ (quantifier) mới như  (với mọi) và  (có ít nhất một).Các mũi tên tiếp nhau chỉ sự kết hợp các cấu trúc :ví dụ  Không gian vector cũng là một vành và Nhóm Lie cũng là một đa tạp. Hình vẽ trên dựa trên Bảng xếp hạng các cấu trúc toán học của Hội toán học Mỹ ( Mathematics Subject Classification of the American Mathematical Society.

Trên hình số 1 là một phần của cây các cấu trúc toán học. Cấu trúc toán học là những  đơn vị trừu tượng nối liền với nhau .

Cây toán học có lẽ là lớn vô cùng, ở đây chỉ xét dến một số cấu trúc cơ bản (trong ý định xây dựng một Lý thuyết của Tất cả TOE-Theory of Everything) mà trước mắt là thống nhất Lý thuyết Trường Lượng tử -QFT (Quantum Field Theory) và Lý thuyết Tương đối Tổng quát-GR (General Relativity).

Rất có thể những cấu trúc đủ phức tạp để dung nạp SAS (Self-Aware Substructure-những Tiểu cấu trúc Tự Nhận thức , những quan sát viên như con người) không nằm trong hình số 1.Và cũng có thể còn nhiều cấu trúc phức tạp hơn không chứa SAS.

Để xây dựng giả thuyết MUH của mình Tegmark đã dựa trên Giả thuyết Thực tại Khách quan)-ERH (External Reality Hypothesis)-chủ trương rằng thực tại vật lý bên ngoài tồn tại độc lập với con người. 

                           

Đa vũ trụ của Tegmark

Ngoài vũ trụ của chúng ta có thể tồn tại nhiều vũ trụ song song khác. Đây là một giả thuyết dựa trên cơ sở những quan trắc vũ trụ.  Sự tồn tại của những vũ trụ song song giúp ta giải thích những khía cạnh lạ lùng của vũ trụ chúng ta, từ tiền-Bigbang đến những nghịch lý đầy thách thức của cơ học lượng tử. 

Tegmark xếp đa vũ trụ thành 4 mức

            

Lý thuyết của tất cả TOE (Theory of Everything)

Hy vọng tối hậu của các nhà vật lý là tìm ra Lý thuyết của Tất cả-TOE (Theory of Everything).

Những điều kiện cho một TOE:

• TOE phải bao trùm một cách thích hợp Hấp dẫn và Lượng tử như những trường hợp riêng và

• TOE phải có khả năng tiên đoán và cũng có thể được chứng minh là không đúng (falsifiable) theo nghĩa của Popper.

Một bảng phân loại TOE

Hãy xếp các TOE thành 2 phạm trù tùy theo cách trả lời câu hỏi sau đây:

Vật lý là hoàn toàn toán học hay toán học chỉ là công cụ hữu ích để mô tả gần đúng thế giới thực tại.? Một cách hình thức hơn là thế giới vật lý có đẳng cấu (isomorphic) với một cấu trúc toán học nào đó?

Phạm trù 1:

1/Thế giới vật lý là hoàn toàn toán học

Trong phạm trù này tồn tại một  hoặc nhiều cấu trúc toán học không những trong ý nghĩa toán học mà còn tồn tại cả trong ý nghĩa vật lý.

Các SAS có thể cư trú trong những cấu trúc đó và chúng ta những con người là ví dụ của những SAS đó.

Như vậy các cấu trúc toán học đó có đặc tính là sự tồn tại vật lý PE (physical existence).Trong phạm trù này ta có hoặc tất cả  hoặc vài hoặc không cấu trúc toán học có PE :

a. mọi điều tồn tại trong toán học đều tồn tại trong vật lý (all)

b. một số điều tồn tại trong toán học thì tồn tại trong vật lý một số khác thì không (some)

c. không điều gì tồn tại toán học là tồn tại vật lý (none).

Phạm trù 2:

Thế giới vật lý không hoàn toàn là toán học

Nhiều nhà vật lý tin vào phạm trù 2 (trên cơ sở tôn giáo) và phạm trù con 1b.

Phạm trù con 1b thường gây nhiều tranh cãi: vì sao có tập lại có PE còn những tập khác thì không có?

Trong GR với điều kiện ban đầu này của vũ trụ thì có PE với điều kiện ban đầu khác thì không có PE ( phạm trù 1b). Tại sao với mp/me  1836 thì cấu trúc toán học có PE còn nếu tỷ số đó mp/me = 1996 thì không có PE?Tại sao một đa tạp 3+1-chiều có PE mà ví dụ 17+5-chiều không có PE?

Tegmark cho rằng phạm trù con 1a có nhiều phần đúng hơn cả (xem [1]&[2]). Điều này có nghĩa rằng mọi thế giới logic đều tồn tại (principle of fecundity). Đây có sự tương tự với các ý tưởng của Platon ,(xem chú thích  *).Tegmark dựa trên tiên đề: mọi cấu trúc tồn tại toán học cũng tồn tại vật lý.Điều đó cũng có nghĩa rằng những cấu trúc đó đủ phức tạp để dung nạp những tiểu cấu trúc có khả năng tự nhận thúc SAS (Self-Aware Substructure). Những SAS này nhận thức chủ quan rằng mình tồn tại trong một thế giới vật lý “thực tại”.

Ở đây trong phạm trù con 1a có một vô định: ta không hiểu là ta thuộc cấu trúc nào của toán học .Lẽ dĩ nhiên ta có thể so sánh với thực nghiệm để chọn một toán học, có thể loại bỏ những “thế giới chết” vì không có SAS nào cả.

Sau MUH Tegmark đưa ra một định đề mới: chỉ những cấu trúc khả quyết hoàn toàn đầy đủ Godel (Godel-complete-full decidable),**xem chú thích [4], mới có PE. Điều này làm giảm số vũ trụ của mức 4 thiết lập một cận trên cho phức hợp và có ưu điểm là giải thích được vì sao vũ trụ của chúng ta có một độ đơn giản tương đối như vậy. 

Tegmark lưu ý rằng mặc dầu các lý thuyết thông thường trong vật lý hiện nay là không khả quyết (undecidable) Godel ( xem chú thích **) song Tegmark cho rằng cấu trúc toán học thực tế mô tả thế giới của chúng ta sẽ là đầy đủ Godel và về nguyên tắc có thể dung nạp những  quan sát viên có khả năng tư duy về định lý không đầy đủ Godel giống như những máy tính có thể chứng minh một số định lý của những hệ hình thức không đầy đủ Godel.

Tegmark phát triển MUH thành một giả thuyết hạn chế hơn hơn là CUH (Computable Mathematical Structure).CUH là giả thuyết trong đó các cấu trúc toán học của thế giới khách quan được xác định bởi những hàm tính được.CUH khẳng định rằng mọi cấu trúc toán học tính được bằng máy tính đều tồn tại (trong nghĩa của Godel), gồm những cấu trúc toán học đủ đơn giản để không chứa các định lý không khả quyết (undecidable) hay không tính được (uncomputable). 

* Học thuyết Plato chủ trương rằng những vật thể thực tại chỉ là những bản copy của những ý tưởng siêu đẳng và những ý tưởng này mới là đối tượng của chân lý . Các hiện tượng trong thế giới chỉ là sự phản ánh chuyển tiếp và không hoàn chỉnh của những ý tưởng này. 

**  Các định lý GODEL .Định lý thứ nhất nói rằng : Mọi hệ tiên đề hình thức số chứa những mệnh đề không khả quyết-có nghĩa là chứa những mệnh đề S mà sự khẳng định S cũng như sự phủ định S đều không thể chứng minh được (Any formal axiomatic system containing arithmetic contains undecidable propositions-i.e. contains sentences S such that neither S nor the negation of S can be proved).

Định lý thứ hai nói rằng :Tính nhất quán (không mâu thuẫn) của một hệ hình thức số không thể chứng minh được chỉ nhờ bản thân hệ đó –mà phải nhờ đến một hệ mạnh hơn.

(The consistency of a formal system containing arithmetic cannot be proved by means using the formulation of the system itself-only by using a stronger system).

Song Tegmark cũng thừa nhận rằng cách tiếp cận này cũng gặp nhiều thử thách (như đã loại trừ một số phong cảnh toán học -mathematical landscape,…).Từ phong cảnh (xem chú thích ***) đã được dùng trong LTD (lý thuyết dây): khi com-pắc hóa các chiều dư không-thời gian ta có một đa 

tạp phức tạp trông giống như một phong cảnh chứa nhiều đồi núi, thung lũng,…

***Phong cảnh (landscape),từ này được sử dụng trong LTD(lý thuyết dây), không-thời gian có nhiều chiều hơn 4, khi com-pắc hóa (co) các chiều dư lại ta có một đa tạp chứa nhiều cực đại, cực tiểu trông giống một phong cảnh có núi đồi.

Mối liên quan giữa các hệ hình thức, các cấu trúc toán học và tính toán

Mối liên quan được biểu diễn ở hình 2.

   

                

                     Hình 2 .Các mũi tên biểu diễn mối tương quan chặt chẽ giữa các hệ hình thức, các cấu trúc toán học và các tính toán.

Định lý Godel (xem chú thích ** )liên quan đến vòng trên của hình vẽ (hệ hình thức), MUH liên quan đến vòng trái dưới (cấu trúc toán học ), còn CUH liên quan đến vòng phải dưới (computation).

Những mệnh đề không khả quyết  (undecidable statement) trong định lý thứ nhất Godel sẽ tương ứng trong cấu trúc toán học với những bài toán  không thể tính được bởi những chương trình dừng của máy tính nghĩa là không xác định (undefined) trong ý nghĩa máy tính. Điều này liên quan đến bài toán dừng của Turing trong máy tính.(Turing chứng minh rằng không tồn tại một chương trình kiểm nghiệm có thời gian hữu hạn để chứng tỏ một chương trình máy tính nào cho trước đều sẽ dừng).

Tóm tắt

ERH:tồn tại một thực tại vật lý khách quan hoàn toàn độc lập với chúng ta , con người

MUH: thực tại vật lý khách quan là một cấu trúc toán học

CUH: cấu trúc toán học của thực tại vật lý khách quan được xác định (defined) bởi các hàm tính được. 

 LÀM THẾ NÀO ĐỂ TIÊN ĐOÁN KHI SỬ DỤNG LÝ THUYẾT NÀY

Làm thế nào để tiên đoán định lượng khi dùng phạm trù con1a?Trong  lý thuyết ta có thể tiên đoán định lượng trong dạng phân bố xác suất (probability distribution) nhờ sử dụng thống kê Bayesean.Theo quan điểm Bayesean, mọi xác suất đều mang tính chủ quan, ví dụ quy tắc số lẻ trong các quá trình biểu quyết.

(đã có phần 2)