TOÁN HỌC LÀ MỘT SÁNG TẠO HAY LÀ MỘT PHÁT HIỆN ?

         

Toán học là một sáng tạo (invention) hay đó là một phát hiện (discovery)

  47B                                                                     

Những bí ẩn sâu kín thường được xem là những điều hiện hữu trong thiên nhiên. Các nhà khoa học có thể  sử dụng toán học để mô tả và giải thích những bí ẩn của vũ trụ.Tại sao như vậy? Các khái niệm toán học vốn được phát triển vì những lý do trừu tượng tại sao lại giải thích được các hiện tượng thực tại. Theo nhà vật lý Eugene Wigner thì tiềm năng công dụng của toán học  là một món quà kỳ diệu mà chúng ta vừa không thấu hiểu vừa lại xứng đáng được thừa  hưởng, 

Câu hỏi thách đố là: toán học là một sáng tạo (invention-một tạo dựng của trí óc con người) hay đó là một phát hiện (discovery-một điều tồn tại độc lập với chúng ta)?[1]

                      

Phải chăng toán học được sáng tạo (invented)  hay được phát hiện (discovered)? Nhà vật lý lý thuyết thiên văn Mario Livio gợi ý rằng câu trả lời cho câu hỏi đặt ra từ nghìn năm nay là cả hai.

Đa số chúng ta có niềm tin rằng toán học hoạt động hiệu quả, các nhà khoa học có thể thiết lập những công thức mô tả các hiện tượng của thế giới vi mô hoặc các kỹ sư có thể tính được quỹ đạo các phi thuyền không gian. Chúng ta chấp nhận quan điểm ban đầu đưa ra bởi Galileo rằng toán học là ngôn ngữ của khoa học và hy vọng rằng ngữ pháp của nó giải thích được các kết quả thực nghiệm và thậm chí tiên đoán các hiện tượng mới. Sức mạnh của toán học quả là một điều gây ngạc nhiên . Hãy lấy ví dụ: nhà vật lý Scôt-len James Clerk Maxwell đã thiết lập những phương trình nổi tiếng không những tóm thâu được mọi hiện tượng điện từ đã được biết đến năm 1860 mà còn tiên đoán được sự tồn tại các sóng radio hai thập kỷ trước cả lúc nhà vật lý người Đức Heinrich Hertz tìm ra. Ít có lý thuyết khúc chiết và chính xác đến như vậy.

Albert Einstein nói: Tại sao toán học, một sản phẩm của tư duy con người vốn độc lập với thực nghiệm lại có thể phù hợp tuyệt vời với các đối tượng của thực tại vật lý?

Mario Livio vốn là một nhà vật lý thiên văn lý thuyết. Livio đã đối diện trên từng bước đường nghiên cứu với cái điều rất khó hiểu, đó là  “ hiệu quả phi lý (không giải thích được) của toán học “( unreasonable effectiveness of mathematics)“ như  nhà vật lý  giải Nobel Eugene Wigner nói đến năm 1960. Livio   nghiên cứu tìm hiểu các hệ sao tiền bối sinh ra các siêu tân tinh loại Ia (supernovae type Ia) và  tính toán số phận trái đất khi mặt trời cuối cùng biến thành một sao khổng lồ đỏ, các công cụ  và các mô hình tôi sử dụng đều là toán học. Con đường lạ lùng khó hiểu mà toán học nắm bắt được thế giới khách quan đã làm Livio kinh ngạc suốt cuộc đời nghiên cứu và khoảng 10 năm Livio quyết định đi sâu vào vấn đề này một cách sâu sắc hơn.

Cốt lõi của sự bí ẩn này là vấn đề mà nhiều thế kỷ này các nhà toán học, vật lý, triết học và các nhà khoa học nhận thức luận  trăn trở: Phải chăng toán học là một tập các công cụ sáng tạo như Einstein nghĩ? Hay Toán học là một thực tại trừu tượng thật sự tồn tại mà con người chỉ phát hiện ra các chân lý của nó? 

Nhiều nhà toán học lớn như David Hilbert, Georg Cantor và nhóm Nicolas Bourbaki chia sẻ quan điểm Einstein họ gắn liền với trường phái tư duy gọi là trường phái Hình thức (Formalism). Song nhiều nhà tư tưởng nổi tiếng khác trong đó  Godfrey Harold Hardy, Roger Penrose và Kurt Godel lại theo quan điểm ngược lại là luận điểm Platonism [2].

 

                          

                                                        Hình1  .Plato

Cuộc tranh luận về bản chất của toán học đang tiếp diễn 

 sôi nổi hiện nay. Livio nghĩ rằng khi đặt câu hỏi là toán học được sáng tạo hay phát hiện chúng ta đã quên mất  khả năng của câu trả lời phức tạp và toàn diện hơn: cả sáng tạo lẫn phát hiện đều đóng vai trò cốt yếu. Livio tích hợp hai mệnh đề đó để tìm hiểu vì sao toán học hoạt động có kết quả . Mặc dầu loại bỏ sự lưỡng phân đó  giữa sáng tạo và phát hiện chúng ta cũng chưa giải thích được  “ hiệu quả phi lý của toán học “, bài toán này rất sâu sắc và việc giải quyết một phần cũng đã là tiến bộ lớn.

Sáng tạo và Phát hiện 

Toán học đã tiến đến một hiệu quả khó lý giải ( unreasonable)  theo hai con đường khác nhau: tích cực và thụ động đối với thực tại. 

a  /  Ví dụ khi Isaac Newton thiết lập các phép tính vi phân với mục đích nắm bắt các chuyển động và các thay đổi của chúng  thì đó là những sáng tạo  tích cực. Nói cách khác các công cụ được thiết lập theo đơn đặt hàng. 

Song điều đáng ngạc nhiên là chúng ta thu được một độ chính xác quá lớn trong một số trường hợp. Lấy ví dụ trong QED (Quantum Electrodynamics- Điện động lực học lương tử), một lý thuyết toán học được phát triển đề mô tả tương tác giữa ánh sáng và vật chất. Lúc các nhà vật lý sử dụng QED để tính momen từ của electron, trị số lý thuyết phù hợp với dữ liệu thực nghiệm là 1.00115965218073 trong năm 2008, chính xác đến phần tỷ tỷ. 

b  /  Một điều kỳ diệu khác là các nhà toán học đôi lúc phát triển những lĩnh vực chưa có ứng dụng nào rồi sau đó nhiều thập kỷ thậm chí nhiều thế kỷ các nhà vật lý phát hiện rằng những lĩnh vực đó có ứng dụng trong những quan sát của họ. Những ví dụ về tính  hiệu quả thụ động này rất nhiều. Nhà toán học Pháp Evariste Galois đã phát triển lý thuyết nhóm trong những năm 1800 với mục đích xác định tính giải được của các phương trình đa thức. Nhóm là những cấu trúc đại số cấu tạo bởi tập các đối tượng (như số nguyên) với những phép toán (ví dụ phép cộng) tuân theo một số luật đặc biệt (như tồn tại số 0). Trong vật lý  thế kỷ 20 lý thuyết nhóm lại trở thành công cụ hữu hiệu không thiếu được trong việc sắp xếp phân loại các hạt cơ bản – những viên gạch của vật chất. Trong những năm 1960 các nhà vật lý Murray Gell-Mann và Yuval Ne’eman độc lập với nhau đã tìm thấy nhóm SU(3) mô tả được các hạt hadron dẫn đến cơ sở lý thuyết hiện đại về hạt nhân nguyên tử.

c / Lý thuyết nút (knot theory) [3] là một thí dụ khác về tính hiệu quả thụ động. Những nút toán học  giống như nhũng nút thông thường, ngoại trừ chúng không có những đầu mút tự do (xem hình 2). Năm 1960 Lord Kelvin hy vọng mô tả nguyên tử như những ống nút (knotted tube) ether song mô hình không thành công. Tuy nhiên các nhà toán học vẫn tiếp tục nghiên cứu lý thuyết nút trong nhiều thập kỷ như một ngành  hoàn toàn chuyên sâu của toán học trừu tượng. 

                                   

     

                        

                    Hình2.Hình ảnh 3 chiều của một nút  ba lá (trefoil)

Điều đáng kinh ngạc là lý thuyết nút hiện tại lại tìm được ứng dụng quan trong trong LTD (Lý thuyết dây-String theory)[3] & LQG (Hấp dẫn lượng tử vòng- Loop quantum gravity)[4].

d /Tương tự như vậy nhà toán học người Anh Hardy phát hiện trong lý thuyết số một lĩnh vực quan trọng đó là lý thuyết mật mã mặc dầu trước đây Hardy đã tuyên bố rằng “ chưa ai phát hiện được những mục đích chiến tranh tiềm ẩn  trong lý thuyết số”.

e /Năm 1854 Bernhard Riemann mô tả hình học phi Euclide-một loại hình học kỳ lạ trong đó các đường song song hoặc cắt nhau hoăc không bao giờ gặp nhau. Hơn nửa thế kỷ sau Einstein sử dụng các hình học đó để xây dựng lý thuyết tương đối tổng quát.

f / Hình tượng chồng chất các hình cầu (xem hình 3) mô tả hình học Fractal (hình ảnh 3D tạo nên bởi một phần mềm mô phỏng). Fractal là một trong những cấu trúc toán học sáng tạo ra vì những lý do trừu tượng nhưng lại mô tả được nhiều  thực tại ( tự đồng dạng ở mọi kích thước). 

 

                                                          Hình 3. Fractal

g / Có thể nói thêm về những lý thuyết rất trừu tượng như lý thuyết đồng điều (homology) H trong topo đại số (xem hình 4   )thì hiện nay được sử dụng nhiều trong việc nghiên cứu các kỳ dị trong tích phân Feymann.

     

                       

                             Hình 4.   Lý thuyết đồng điều thuộc topo đại số

Con người sáng tạo ra những khái niệm toán học bằng cách trừu tượng hóa các yếu tố lấy từ thế giới khách quan chung quanh – dạng, đường, tập, nhóm và vv.... vào những mục đích đặc biệt thậm chí để vui đùa toán học. Tiếp theo họ phát hiện ra những mối liên quan giữa những khái niệm đó. Bởi vì quá trình sáng tạo và phát hiện là do con người làm ra (khác với loại phát hiện  theo Platonism)- toán học tối hậu dựa trên những nhận thức của chúng ta và các bức tranh trong trí tưởng (mental) mà chúng ta có thể làm nhiều trò ảo thuật  (conjure) với chúng.

Chúng ta có một thiên bẩm nhận biết tức khắc các đối tượng, điều này dẫn đến khái niệm về số. Chúng ta cũng có khả năng nhận biết biên  giới các đối tượng riêng lẻ và phân biệt được đường thẳng với đường cong, phân biệt được các dạng hình khác nhau như vòng tròn và ellip – những khả năng đó chắc chắn dẫn đến sự phát triển số học và hình học. Như thế các trải nghiệm lặp đi lặp lại của nguyên nhân và hệ quả, sẽ đóng góp vào việc tạo ra logic và tiếp theo là sự hình thành  khái niệm về mệnh đề : một số khẳng định này sẽ dẫn đến sự đúng đắn của những khẳng định khác.

Chọn lọc và tiến hóa (các danh từ lấy từ sinh học)

 Nhà toán học người Đức Leopold Kronecker đã có một câu tuyên bố nổi tiếng : Chúa tạo ra các số tự nhiên , phần còn lại là công trình của con người.

Song hãy tưởng tượng rằng trí tuệ trong vũ trụ của chúng ta không thuộc  con người mà thuộc về một loại sứa (xem hình 5).

 

  

                Hình 5. Đối với con sứa thì lý thuyết số không tồn tại

trôi nổi sâu trong lòng Thái bình dương . Mọi trải nghiệm của nó đều liên tục, từ dòng chảy chung quanh cho đến các thăng giáng nhiệt độ và áp suất. Trong một môi trường như thế thiếu vắng những đối tượng riêng  biệt hoặc những thay đổi gián đoạn thì liệu lý thuyết số có hình thành được hay chăng? Nếu không có gì để đếm thì những con số dùng để làm gì?

Tương tự  như những con sứa chúng ta chọn lọc những công cụ toán học có thể áp dụng vào thế giới chúng ta- đây là điều thật sự  đóng góp vào tính hiệu quả nhận thức được của toán học. Các nhà khoa học không chọn lọc những phương pháp giải tích một cách bất kỳ mà dựa trên cơ sở là những phương pháp này cho phép tiên đoán tốt các thực  nghiệm. Khi sử dụng một máy bắn bóng tennis thì các bạn sử dụng các số tự nhiên 1, 2, 3 ,... để mô tả dòng bóng bắn ra. Khi một ngưởi cứu hỏa dùng vòi phun thì phải sử dụng thể tích và khối lượng để mô tả tia nước. Tương tự như thế khi nghiên cứu sự va chạm của các hạt cơ bản trong một máy gia tốc các nhà vật lý cần đo đạc các đại lượng như năng lượng, xung lượng mà không phải chỉ đo số hạt cuối cùng vì số hạt chỉ cung cấp một phần thông tin về quá trình va chạm, nhớ rằng nhiều hạt mới có thể phát sinh trong quá trình va chạm.

Theo thời gian chỉ có những mô hình tốt mới  sống sót. Những mô hình thất bại ví dụ mô hình mà nhà triết học Pháp Rene Descartes sử dụng đề mô tả chuyển động các hành tinh bằng các cuộn xoáy (vortices) của vật chất vũ trụ - đã chết sớm ngay lúc ra đời. Ngược lại những mô hình tốt sẽ tiến hóa vì cung cấp nhiều thông tin mới. Ví dụ những phép đo chính xác sự tiến động (precession) của sao Thủy  đòi hỏi một sự thay đổi toàn bộ  lý thuyết Newton để có sự hình thành lý thuyết tương đối tổng quát Einstein.

Nhiều khái niệm toán học sống rất lâu, công thức diện tích của mặt cầu vẫn luôn đúng từ khi Archimedes tìm ra  khoảng năm 250  trước công nguyên. Như vậy các nhà khoa học có thể lùng sục trong kho tàng rộng lớn các hình thức đã ổn định để tìm ra các phương pháp thích hợp mới.

Các nhà khoa học không chỉ chọn những giải pháp mà họ còn chọn lọc những bài toán có thể sử dụng toán học. Tồn tại nhiều hiện tượng không thể sử dụng toán học để tiên đoán được, nhiều lúc là về mặt nguyên tắc. Ví dụ trong kinh tế học nhiều biến số chi tiết như   tâm lý số đông khó lòng có được một cách lượng hóa.  Khả năng tiên đoán nằm ở tính ổn định các hệ thức giữa các đại lượng. Những phân tích toán học thường thất bại trước những hệ  hỗn độn, trong đó những thay đổi rất nhỏ các điều kiện ban đầu dẫn đến những hệ quả hoàn toàn trái ngược điều này ngăn cấm mọi tiên đoán dài hạn. Các nhà toán học đã phát triển những phương pháp thống kê và xác suất để giải quyết những trường hợp như thế song nói chung toán học là hạn chế như nhà lôgic học Úc Godel đã chứng minh một cách nổi tiếng.

Đối xứng của thiên nhiên 

                             Hình 6. Một dạng đối xứng trong thiên nhiên

Thế giới có những  đối xứng (xem hình 6) điều này cho phép các nhà vật lý mô tả nó một cách toán học . Song nếu hỏi vì đâu có đối xứng thì không ai trả lời được.

Sự  chọn lọc cẩn thận các bài toán và các giải pháp đã một phần đóng góp vào hiệu quả khó lý giải của toán học trong việc mô tả các định luật của thiên nhiên.

May mắn thay cho những nhà toán học và vật lý là tồn tại những định luật phổ quát  điều khiển vũ trụ của chúng ta: nguyên tử 12 tỷ năm về trước cũng hành xử giống như bây giờ; ánh sáng cũng chuyển động trong hiện tại giống y như trong quá khứ; hấp dẫn đã nặn ra hình hài của vũ trụ trong quá khứ và hiện tại, nhiều điều đã không thay đổi từ nguyên thủy. Các nhà toán học và vật lý đã sáng tạo khái niệm đối xứng  để mô tả sự bất biến đó.

Các định luật vật lý biểu hiện đối xứng đối với không gian và thời gian: các định luật đó không phụ thuộc vào nơi nào, góc độ nào và khi nào ta quan sát. Các định luật đó cũng bất biến đối với mọi quan sát viên không phụ thuộc vào việc quan sát viên đứng yên, chuyển động đều hay với gia tốc. Do đó các định luật như nhau sẽ giải thích các kết quả không phụ thuộc là hiện tượng được  quan sát  ở Việt nam, Alabama hay trên thiên hà Andromeda, không phụ thuộc ta tiến hành thí nghiệm hôm nay hay nhiều tỷ năm về trước. Nếu vũ trụ không có những đối xứng đó thì mọi cố gắng giải mã cuộc đại thiết kế vũ trụ - mọi mô hình  toán học sẽ thất bại vì chúng ta phải luôn thay đổi thí nghiệm từng nơi một và từng thời điểm một.

Một đối xứng tinh tế sâu sắc là đối xứng chuẩn (gauge symmetries) ngự trị trong thế giới vi mô. Yếu tố quan trọng  của lý thuyết chuẩn là tính định xứ (locality). Điều này có nghĩa là nhóm cấu trúc của không gian phân thớ [6 ] tương ứng phụ thuộc vào từng điểm . Nhờ định xứ chúng ta có thể tạo nên một mô hình toán học của vũ trụ thống nhất các tương tác.Các trường đóng vai trò liên thông của không gian phân thớ.

Một đối xứng khác cần thiết cho thống nhất là siêu đối xứng. Nếu một hạt siêu đối xứng được tìm thấy ở LHC (Large Hadron Collider) thì đây là một thắng lợi lớn của toán học.

Kết luận

Mario Livio đã xuất phát từ hai câu hỏi cơ bản  gắn liền với nhau: 

1/  Toán học được sáng tạo hay phát hiện? 

2/  Và điều gì đã làm cho toán học có quyền năng  giải thích và tiên đoán.

Mario Livio tin rằng hiện nay chúng ta đã biết câu trả lời cho câu hỏi thứ nhất : Toán học là sự tích hợp phức tạp giữa sáng tạo và phát hiện. Các khái niệm đã được sáng tạo và thậm chí mặc dầu những hệ thức đúng đắn giữa chúng đã tồn tại trước khi chúng được phát hiện, con người vẫn phải chọn lọc khái niệm nào để nghiên cứu. 

Câu hỏi thứ hai lại là câu hỏi phức tạp hơn. Không còn nghi ngờ gì rằng sự  chọn lọc các lĩnh vực (topics) mà chúng ta nghiên cứu bằng toán học đóng một vai trò quan trọng trong việc nhận thức được tính hiệu quả của toán học. Song toán học sẽ không có hiệu quả nếu không có những định luật phổ quát cần phát hiện. Các bạn có thể hỏi: Tại sao tồn tại những định luật phổ quát của vũ trụ ? 

  Chúng ta thật tình không biết câu trả lời mà chỉ có thể đưa ra một nhận xét rằng nếu vũ trụ không có những tính chất ấy thì các phức hợp (complexity) và sự sống không đột sinh được và chúng ta không tồn tại ở đấy để đặt ra câu hỏi này.

                  

Tài liệu tham khảo và chú thích

[1]Mario Livio, ,  Vì sao toán học  hoạt động hiệu quả -Why Math Works , Scientific American số tháng 8/2011 

[2] Platonism= lý thuyết hiện thực khẳng định rằng các thực thể toán học tồn tại trong thực tế và sự thật toán học độc lập với con người.

[3] Lý thuyết nút là một lĩnh vực tô pô nghiên cứu các nút toán học. Hai nút toán học là tương đương nếu từ một nút này có thể biến thành nút kia bằng những động tác không chứa phép cắt (cutting) và phép luồn  qua nút (passing).

[4] LTD = lý thuyết xem thực thể cơ bản nhất là sợi dây vi mô đóng hoặc hở

[5] LQG= lý thuyết xem không thời gian là gián đoạn và được cấu tạo bởi những “nguyên tử” không thời gian.

[6]  Không gian phân thớ (fibre bundle) trong toán học là những không gian, trong đó mỗi điểm có một cấu trúc nội tại. Tại mỗi điểm của một không gian, gọi là không gian cơ sở, người ta xét một biến đổi định xứ (nghĩa là phụ thuộc vào toạ độ của điểm đang xét), nhóm biến đổi này có tên là nhóm cấu trúc G.  Các nhà vật lý phát hiện ra rằng, tuỳ theo nhóm cấu trúc mà ta có thể thu được được nhiều liên thông khác nhau mô tả những trường ứng với các lượng tử mang tương tác khác nhau (như photon, gluon, graviton ,…).

[7] Lý thuyết đồng điều (homology)

Lý thuyết đồng điều thuộc topo đại số.

Lý thuyết đồng điều xuất phát từ việc quan sát hình dạng nhờ những lỗ thủng (hole)trong một đa tạp.Ví dụ một đường tròn không phải là một cái đĩa vì đường tròn có một cái lỗ thủng còn cái đĩa thì đặc.Giống như vậy một hình cầu không phải là một đường tròn vì hình cầu bọc một cái lỗ thủng 2-chiều trong khi  đường tròn bọc cái lỗ thủng 1-chiều.

Lý thuyết đồng điều khởi nguyên là một phương pháp toán học chặt chẽ để định nghĩa và 

xếp hạng các loại lỗ thủng trong các đa tạp.